Fibonacci und goldener Schnitt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] der Fibonacci Zahlen ist gegeben. Definiere die Folge [mm] (q_n)_\in\IN [/mm] durch [mm] q_n=\bruch{f_{n+1}}{f_n}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_n= [/mm] goldener Schnitt ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Teilfolgen [mm] (q_{2n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (q_{2n-1})_{n\in\IN} [/mm] gegen den gleichen Grenzwert streben. |
Wow, also das ist ja eine Aufgabe, die man zwar im Netz findet, aber nicht so verständlich bisher für mich ist.
Meine erste Frage ist, was die mit [mm] q_n [/mm] überhaupt meinen.
Heißt das, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibbonaccizahlen gegen den goldenen Schnitt konvergiert?
Habe gefunden, dass der goldene Schnitt der hier ist:
[mm] \bruch{1}{2}*(\wurzel{5}+1) [/mm] ist.
Wie gehe ich hier jetzt am besten dran? Wieso soll ich den Hinweis vorher zeigen? Ist das nicht viel aufwendiger?
lG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 25.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Interpretation für [mm] q_n [/mm] ist richtig
Der Hinweis heisst nicht du musst, sondern soll dir beim beweisen helfen.
Was er dir hilft, kannst du erst merken, wenn du versuchst zu beweisen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Ferolei,
schreibe zum "Heranarbeiten" an die Aufgabe doch einmal die ersten Fibonacci-Zahlen bis z.B. f10 auf und berechne z.B. die Werte q4=f5/f4, q5=f6/f5, q6=f7/f6 ... q9=f10/f9 und vergleiche sie mit dem Grenzwert, den du gefunden hast. Du siehst dann sehr konkret, was mit dem Aufgabentext gemeint ist.
Gruß, MatheOldie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, das sieht man wirklich gut.
Könnt ihr mir denn einen Tipp geben, wie ich den Hinweis beweisen kann?
|
|
|
| |
|
> Ja, das sieht man wirklich gut.
> Könnt ihr mir denn einen Tipp geben, wie ich den Hinweis
> beweisen kann?
Hallo,
ich vermisse eigene Aktivitäten von Dir.
Was genau hast Du beim Spielen mit den Zahlen herausgefunden?
Die Aussage, daß die beiden Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren, beinhaltet ja zweierlei:
1. die Teilfolgen konvergieren
2. Die Grenzwerte sind gleich.
Was hast Du Dir denn bisher dazu überlegt, was man zeigen könnte, wenn man zeigen will, daß die beiden Teilfolgen konvergieren?
Welche Sätze möchtest Du verwenden, wie weit sind Deine Beweise gediehen, wo hast Du Probleme?
Zum Grenzwert: überlege Dir mal, daß [mm] q_n=1+\bruch{1}{q_{n_1}}.
[/mm]
Nimm an, daß die Folge gegen q konvergiert. Überlege Dir, daß dann [mm] q=1+\bruch{1}{q}, [/mm] und berechne die für q möglichen Werte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pumukel |
Hallo,
ich habe ehrlich gesagt auch Probleme die Aufgabe zu lösen.
Ich weiss nichtwie es dann weiter geht, wenn ich nun qn =q4, q5, q6 usw. setze.
Wie beziehe ich fn= fn-1+fn2 hinein?
und wie komme ich dann zu den hinweisen?
bin ratlos :(
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe ehrlich gesagt auch Probleme die Aufgabe zu
> lösen.
> Ich weiss nichtwie es dann weiter geht, wenn ich nun qn
> =q4, q5, q6 usw. setze.
> Wie beziehe ich fn= fn-1+fn2 hinein?
>
> und wie komme ich dann zu den hinweisen?
>
> bin ratlos :(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
beschäftige Dich mal mit meiner Antwort, ist ja egal, für wen ich die geschrieben hatte.
Geh genau auf die dortigen Fragen und Hinweise ein und teile später das Ergebnis Deiner Bemühungen mit. Dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pumukel |
Hi, vielen Dank für den Willkommensgruss :)
ich habe etwas herum probiert: (leider kann ich noch nciht mit den Formeln umgehen, ist jetzt schwerer zu lesen)
Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder fn+1 / fn, so merkt man, dass sich dieser immer mehr an T= (1+wurzel 5)/2 annähert.
Folge der Quotienten: qn:= (fn+1) / fn
zu beweisen: qn strebt gegen T
Damit folgt: qn= (fn+1) /fn = (fn+fn-1)/fn = 1+(fn-1)/fn = 1+ 1/(qn-1)
Wie nehmen an die Folge (qn) hat einen Grenzwert, welcher eindeutig ist. Wenn wir nun auf beiden Seiten der Rekursionsformel für die qn zu Grenzwert über gehen, so erhalten wir die Gleichung qn= 1+ 1/q also q²-q-1=0
q²-q-1=0 mit quadratischer Ergänzung berechnet
=> q1= T falls qn konvergiert hat sie den grenzwert T
q2= (1-wurzel 5)/2 fällt weg, da die Folge nie negativ wird
Man kann sagen, dass ab n=2 1<qn<(kleiner gleich) 2.
Wir betrachten:
qn+1 - qn = (fn+2)/(fn+1) - (fn+1)/fn = (fn+2 * fn - f²n+1)/(fn+1 * fn) =: zn/(fn+1*fn)
Die ersten Werte von zn sind 1,-1,1,-1,1
zn lässt sich auf zn-1 zurückführen, denn
zn + zn-1= fn+2*fn - f²n+1 + fn+1*fn-1 - f²n
= (fn+1 + fn)*fn - f²n+1 + fn+1 * fn-1 - f²n
= fn+1 *(fn-fn+1) + fn+1 * fn-1
= fn+1 *(fn-(fn+ fn-1)) + fn+1 * fn-1
= fn+1 * fn-1 + fn+1 * fn-1 = 0
daraus folgt: für alle n ist zn= - (-1) (hoch n)
daraus folgt: die folge qn steigt und fällt abwechselnd um immer kleinere Beträge (um 1/ (fn+1 * fn) ) und diese gehen gegen 0, da fn gegen unendlich strebt.
Die Folge hat einen Grenzwert. Er wird von q2n und q2n-1 "umschlungen", er liegt zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern. Wir nennen den Grenzwert q (q=T).
Zusammenfassend ist q = 1+ 1/q, da qn > 0 => q= T = (1+ wurzel 5) / 2 .
Stimmt das so? bin mir da sehr unsicher.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | e
Die Folge $ [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] $ der Fibonacci Zahlen ist gegeben. Definiere die Folge $ [mm] (q_n)_\in\IN [/mm] $ durch $ [mm] q_n=\bruch{f_{n+1}}{f_n}. [/mm] $ Zeigen Sie, dass $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_n= [/mm] $ goldener Schnitt ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Teilfolgen $ [mm] (q_{2n})_{n\in\IN} [/mm] $ und $ [mm] (q_{2n-1})_{n\in\IN} [/mm] $ gegen den gleichen Grenzwert streben. |
Hallo,
> Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender
> Folgenglieder fn+1 / fn, so merkt man, dass sich dieser
> immer mehr an T= (1+wurzel 5)/2 annähert.
Wie denn? Von oben oder von unten?
>
> Folge der Quotienten: qn:= (fn+1) / fn
>
> zu beweisen: qn strebt gegen T
>
> Damit folgt: qn= (fn+1) /fn = (fn+fn-1)/fn = 1+(fn-1)/fn =
> 1+ [mm] 1/(q_{n-1})
[/mm]
Genau.
>
> Wie nehmen an die Folge (qn) hat einen Grenzwert, welcher
> eindeutig ist. Wenn wir nun auf beiden Seiten der
> Rekursionsformel für die qn zu Grenzwert über gehen, so
> erhalten wir die Gleichung qn= 1+ 1/q also q²-q-1=0
>
> q²-q-1=0 mit quadratischer Ergänzung berechnet
> => q1= T falls qn konvergiert hat sie den grenzwert T
> q2= (1-wurzel 5)/2 fällt weg, da die Folge nie negativ
> wird
Ja. Wenn es einen Grenzwert gibt, was erst noch zu untersuchen ist, dann kann es kein anderer sein als T.
Du kannst auch noch zeigen (s. Hinweis, wer weiß wofür es gut ist) daß die gerade und die ungerade Teilfolge beide gegen T konvergieren, wenn sie konvergieren.
>
>
> Man kann sagen, dass ab n=2 1<qn<(kleiner gleich) 2.
Das müßte man begründen, wenn man es verwenden will.
Wofür willst Du es verwenden?
>
> Wir betrachten:
Ich schaue mir diese Rechnung nicht in Einzelheiten an.
>
> qn+1 - qn = (fn+2)/(fn+1) - (fn+1)/fn = (fn+2 * fn -
> f²n+1)/(fn+1 * fn) =: zn/(fn+1*fn)
>
> Die ersten Werte von zn sind 1,-1,1,-1,1
> zn lässt sich auf zn-1 zurückführen, denn
>
> zn + zn-1= fn+2*fn - f²n+1 + fn+1*fn-1 - f²n
> = (fn+1 + fn)*fn - f²n+1 + fn+1 * fn-1 - f²n
> = fn+1 *(fn-fn+1) + fn+1 * fn-1
> = fn+1 *(fn-(fn+ fn-1)) + fn+1 * fn-1
> = fn+1 * fn-1 + fn+1 * fn-1 = 0
>
> daraus folgt: für alle n ist zn= - (-1) (hoch n)
>
> daraus folgt: die folge qn steigt und fällt abwechselnd um
> immer kleinere Beträge
Aha!
Etwas geschickter als Dein Treiben fände ich es, wenn Du die gerade und die ungerade Teilfolge untersuchst und zeigst, daß die eine wächst und die andere fällt.
Wenn Du nun für die eine der Teilfolgen eine gesicherte obere Schranke hast und für die andere eine gesicherte untere, so weißt Du, daß beide Teilfolgen konvergieren, oben hast Du gezeigt, daß sie gegen denselben Wert konvergieren.
(Zu den Schranken: zeig doch das, was Du eigentlich weißt: T ist untere Schranke für die eine Teilfolge, obere für die andere.)
> Die Folge hat einen Grenzwert. Er wird von q2n und q2n-1
> "umschlungen",
Du meinst: [mm] q_{2n}\le T\le q_{2n+1}. [/mm] für alle n,
die eine TF konvergiert von unten, die andere von oben, und nun mußt Du nur noch zeigen, daß damit auch [mm] q_n [/mm] gegen T konvergiert.
Gruß v. Angela
er liegt zwischen je zwei
> aufeinanderfolgenden Gliedern. Wir nennen den Grenzwert q
> (q=T).
> Zusammenfassend ist q = 1+ 1/q, da qn > 0 => q= T = (1+
> wurzel 5) / 2 .
>
> Stimmt das so? bin mir da sehr unsicher.
|
|
|
|
