Fibonaccifolgen-Darstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | Es gilt [mm] f(x)-x*f(x)-x^2*f(x)=1 [/mm] für [mm] |x|<\bruch{1}{2}
[/mm]
Leiten für f die folgende Darstellung für hinreichend kleine |x|:
f(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\summe_{n=0}^{\infty}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n-(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie:
[mm] \bruch{1}{1-x-x^2}=\bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1}{a-x}-\bruch{1}{b-x}) [/mm] |
Anfangs kann ich ja:
[mm] f(x)-x*f(x)-x^2*f(x)=1
[/mm]
[mm] \gdw f(x)(1-x-x^2)=1
[/mm]
[mm] \gdw f(x)=\bruch{1}{1-x-x^2}
[/mm]
dann habe ich ja schoneinmal das heraus, was ich letztendlich im Hinweis zeigen soll. Nur genau diesen Schritt kriege ich nicht hin :/
Ich müsste ja theoretisch über die geometrische Reihe eine passende Umformung hinbekommen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Der Klammerterm der rechten Seite des Hinweises wird zunächst so geschrieben:
1/(a-x)+1/(x-b). Dann wird die rechte Seite des Hinweises nach den Regeln der Bruchrechnung auf gemeinsamen Nenner gebracht und schließlich ein Koeffizientenvergleich durchgeführt. Das führt auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und nach Elimination von b auf eine quadratische Gleichung in a, bei deren Lösung man auf die Diskriminante 5 stößt. Das sollte fürs Erste weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 14.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
Vielen Dank für deine Hinweise :)
Im Endeffekt ist dann ja
[mm] \bruch{1}{(1-x-x^2)}= \bruch{1}{\wurzel{5}}*\bruch{a-b}{(a-x)(x-b)}
[/mm]
Mit einem Koeeffizientenvergleich meinst du jetzt das Umformen oder das Gleichstellen von Nennern und Zählern?!
Eine geeignete Umformung geht bei mir leider nicht auf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Di 15.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Hinweise :)
> Im Endeffekt ist dann ja
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x-x^2)}= \bruch{1}{\wurzel{5}}*\bruch{a-b}{(a-x)(x-b)}[/mm]
das ist
[mm] $$=\frac{a-b}{\sqrt{5}}*\frac{1}{-ab-(-a-b)x-x^2}\,.$$
[/mm]
Daraus kann man sehen, dass alles gutgeht, wenn man die DREI Gleichungen
1.) [mm] $\frac{a-b}{\sqrt{5}}=1$
[/mm]
2.) [mm] $ab=-1\,$
[/mm]
3.) [mm] $-a-b=-1\,$
[/mm]
für die ZWEI Variablen [mm] $a,b\,$ [/mm] erfüllt bekommt. Nunja: Dazu berechne man etwa [mm] $\sqrt{5}*1.)+3.)\,,$ [/mm] um [mm] $a\,$ [/mm] zu erhalten. Das Ergebnis für [mm] $a\,$ [/mm] kann man dann etwa in 3.) einsetzen, um [mm] $b\,$ [/mm] zu berechnen. Dann testet man, ob Gleichung 2.) für diese [mm] $a,b\,$ [/mm] auch erfüllt ist.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
In
$ [mm] \bruch{1}{1-x-x^2}=\bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1}{a-x}-\bruch{1}{b-x}) [/mm] $
bestimme zunächst a und b.
Dann schreibe [mm] \bruch{1}{a-x} [/mm] als geometrische Reihe. Ebenso [mm] \bruch{1}{b-x}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Di 15.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
vielen Dank , eure Tipps haben mir sehr geholfen :)
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