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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Zeige, daß jeder Filter auf einer Menge X Durchschnitt von Ultrafiltern auf X ist. (Auswahlaxiom!) |
Hallo, also ich muss doch zeigen:
Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Filter auf einer Menge X.
Dann:
[mm] $\mathcal{F}=\bigcap\underbrace{\left\{\mathcal{G}~|~\mathcal{G}~\text{ist Ultrafilter auf X}\right\}}_{=:V}$
[/mm]
Ich habe bis jetzt nur so richtig über die Inklusion [mm] "$\subseteq$ [/mm] nachgedacht; das würde ich so begründen:
Für die Ultrafilter aus V gilt doch:
[mm] $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}~\forall~\mathcal{G}\in [/mm] V$
Ist [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] folgt also, daß [mm] $A\in\mathcal{G}~\forall~\mathcal{G}\in [/mm] V$. Damit folgt doch schon, daß [mm] $A\in\bigcap [/mm] V$.
Stimmt diese Inklusion so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx,
> Sei [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Filter auf einer Menge X.
>
> Dann:
>
> [mm]\mathcal{F}=\bigcap\underbrace{\left\{\mathcal{G}~|~\mathcal{G}~\text{ist Ultrafilter auf X}\right\}}_{=:V}[/mm]
Vermutlich meinst du:
[mm] \mathcal{F}=\bigcap\underbrace{\left\{\mathcal{G}~|~\mathcal{G}~\text{ist Ultrafilter auf X mit }\mathcal{G}\supseteq\mathcal{F}\right\}}_{=:V}
[/mm]
> Ich habe bis jetzt nur so richtig über die Inklusion
> "[mm]\subseteq[/mm] nachgedacht; das würde ich so begründen:
>
>
> Für die Ultrafilter aus V gilt doch:
>
> [mm]\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}~\forall~\mathcal{G}\in V[/mm]
>
> Ist [mm]A\in\mathcal{F}[/mm] folgt also, daß
> [mm]A\in\mathcal{G}~\forall~\mathcal{G}\in V[/mm]. Damit folgt doch
> schon, daß [mm]A\in\bigcap V[/mm].
>
>
> Stimmt diese Inklusion so?
Mit obiger Änderung ja!
Das schwierige ist die andere Inklusion.
Nimm dazu am besten ein Element [mm] $A\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $A\not\in\mathcal{F}$ [/mm] und zeige [mm] $A\not\in\bigcap [/mm] V$, also dass ein [mm] $\mathcal{G}\in [/mm] V$ existiert mit [mm] $A\not\in\mathcal{G}$.
[/mm]
(Dass sich jeder Filter zu einem Ultrafilter erweitern lässt, wisst ihr, oder?)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich hab mir das hier überlegt:
[mm] "$\supseteq$":
[/mm]
Sei [mm] $A\in [/mm] V$. Angenommen, [mm] $A\notin \mathcal{F}$.
[/mm]
Dann [mm] $X\setminus A\cap F\neq\emptyset~\forall~F\in\mathcal{F}$.
[/mm]
[mm] $Q:=\left\{F\cap X\setminus A~|~F\in\mathcal{F}\right\}$ [/mm] ist Filterbasis; der von Q erzeugte Filter ist
[mm] $\mathcal{H}=\left\{T\subseteq X~|~\exists~F\cap X\setminus A, F\in\mathcal{F}: F\cap X\setminus A\subseteq T\right\}$
[/mm]
Es gilt [mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{H}$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ist in einem Ultrafilter [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] enthalten, d.h.
[mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}$
[/mm]
Wenn also [mm] $A\notin\mathcal{F}$, [/mm] kann auch nicht gelten, daß [mm] $A\in\mathcal{G}$.
[/mm]
Widerspruch
[mm] \textbf{Edit:}
[/mm]
Aber woher weiß ich eigentlich, daß dieser Ultrafilter [mm] $\mathcal{G}\in [/mm] V$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab mir das hier überlegt:
>
> "[mm]\supseteq[/mm]":
>
> Sei [mm]A\in V[/mm]. Angenommen, [mm]A\notin \mathcal{F}[/mm].
>
> Dann [mm]X\setminus A\cap F\neq\emptyset~\forall~F\in\mathcal{F}[/mm].
>
> [mm]Q:=\left\{F\cap X\setminus A~|~F\in\mathcal{F}\right\}[/mm] ist
> Filterbasis; der von Q erzeugte Filter ist
>
> [mm]\mathcal{H}=\left\{T\subseteq X~|~\exists~F\cap X\setminus A, F\in\mathcal{F}: F\cap X\setminus A\subseteq T\right\}[/mm]
>
> Es gilt [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{H}[/mm].
>
> [mm]\mathcal{H}[/mm] ist in einem Ultrafilter [mm]\mathcal{G}[/mm] enthalten,
> d.h.
>
> [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}[/mm]
>
>
> Wenn also [mm]A\notin\mathcal{F}[/mm], kann auch nicht gelten, daß
> [mm]A\in\mathcal{G}[/mm].
>
> Widerspruch
Super!
> [mm]\textbf{Edit:}[/mm]
>
> Aber woher weiß ich eigentlich, daß dieser Ultrafilter
> [mm]\mathcal{G}\in V[/mm]?
Nach Definition von V: [mm] \mathcal{G} [/mm] ist ein Ultrafilter auf X mit [mm] \mathcal{G}\supseteq\mathcal{F}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Dazu habe ich nochmal eine Frage, eigentlich sogar zwei.
1.) In der Aufgabenstellung steht ja nur, daß jeder Filter Durchschnitt von Ultrafiltern ist.
Wieso kann man dann einfach annehmen, man bildet den Durchschnitt von Ultrafiltern, in denen der Filter enthalten ist? Könnten es nicht auch andere Ultrafilter sein?
2.) Hast Du eine Ahnung, wieso da "(Auswahlaxiom!)" hinter der Aufgabenstellung steht? Benutzte ich das irgendwo (unbemerkt)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> 1.) In der Aufgabenstellung steht ja nur, daß jeder Filter
> Durchschnitt von Ultrafiltern ist.
>
> Wieso kann man dann einfach annehmen, man bildet den
> Durchschnitt von Ultrafiltern, in denen der Filter
> enthalten ist? Könnten es nicht auch andere Ultrafilter
> sein?
Die Aufgabenstellung behauptet, dass es irgendwelche Ultrafilter gibt, deren Durchschnitt [mm] \mathcal{F} [/mm] ist. Das hast du gezeigt. Eine Eindeutigkeit dieser Ultrafilter ist nicht verlangt.
> 2.) Hast Du eine Ahnung, wieso da "(Auswahlaxiom!)" hinter
> der Aufgabenstellung steht? Benutzte ich das irgendwo
> (unbemerkt)?
Der Beweis, dass sich jeder Filter zu einem Ultrafilter erweitern lässt, benötigt das Auswahlaxiom (bzw. das dazu äquivalente Lemma von Zorn).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank!
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