Filtration < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (X_t)_{t\geq 0} [/mm] ein stochastischer Prozeß.
Das Ereignis [mm] A=\{\omega \in \Omega :X_{10}(\omega)>8\}=\{X_{10}>8\} [/mm] liegt in [mm] F_{10}^X, [/mm] in [mm] F_{11}^X, F_{12}^X,... [/mm] aber nicht in [mm] F_t^X [/mm] für t<10. Geben Sie hierfür die Begründung an. |
Hallo zusammen!
Mein Verständnis einer Filtration ist noch etwas lückenhaft.
Also wenn jetzt z.B. [mm] (X_t)_{t\geq 0} [/mm] die zufälligen Kursverläufe eines Finanzinstruments beschreibt. Dann ist das Ereignis A:"Der Kurs zum Zeitpunkt t=10 ist größer als 8". Das Ereignis ist in t=10 eingetreten und daher kann ich in t=10 sagen: "Ja, das Ereignis ist eingetreten", dasselbe kann ich in t=11,t=12,... sagen-> weil eine einmal erlangte Information nicht mehr verloren geht. Aber ich kann diese Aussage nicht treffen in t<10, da ich zu diesem Zeitpunkt noch keinerlei Informationen darüber habe, ob das Ereignis eintritt ist oder nicht.
Stimmt das so?
Vielen Dank schon im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo!
Also vom wahrscheinlichkeitstheoretischen Aspekt könnte mans vielleicht so begründen (mir aber unsicher):
Falls [mm]\mathcal F^X_n:=\sigma(X_1,...,X_n)[/mm], also [mm]\mathcal F^X_n[/mm], die von [mm]X_1,...,X_n[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra (d.h. [mm]X_1,...,X_n[/mm] sind messbar, also Zufallsvariablen), dann ist die Folge [mm](\mathcal F^X_n)_{n\ge1}[/mm] eine Filtration, da die Kette [mm]\mathcal F_1,\mathcal F_2,\mathcal F_3,[/mm]... aufsteigend ist, also [mm]\mathcal F_1\subset \mathcal F_2\subset \mathcal F_3[/mm].
Aufgrund der Def. der [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist also [mm]\{X_{10}>8\}\in\mathcal F_{10}\subset \mathcal F_{11}\subset \mathcal F_{12}\subset...[/mm]
LG
Fry
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