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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:46 Di 19.10.2004 | | Autor: | emaxx |
hi leute!
ich besuche auf der uni eine vorlesung finanzmathematik und habe noch gewisse probleme mit der lösung von 2 aufgaben! hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen! falls definitionen unklar sind, einfach posten, die kann ich liefern! nur alle jetzt zu posten wäre ziemlich umfangreich!
1. Problem: A property of the pricing functional
Let [mm] $V_{T} [/mm] = [mm] \{ V_{0} + (H \cdot \overline{S})_{T} | V_{0} \in \IR, H predictable\}$ [/mm] denote the space of all discounted portfolio values arising from initial investments and discounted trading results in an arbitrage-free model with discounted asset price process [mm] $\overline{S}$ [/mm] and filtration [mm] $F_{0},\ldots, F_{T}$. [/mm] For $t [mm] \in \{0,\ldots,T-1\}$ [/mm] let [mm] $\pi_{t}: V_{T} \to V_{t}$ [/mm] $ f = [mm] \alpha [/mm] + (H [mm] \cdot \overline{S})_{T} \mapsto \pi_{t}(f) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + (H [mm] \cdot \overline{S})_{t}$ [/mm] denote the pricing functional. Show
(a) If $f [mm] \in V_{T}$ [/mm] and $A [mm] \in F_{t}$, [/mm] then $g = (f - [mm] \pi_{t}(f)) \cdot \I1_{A}$ [/mm] is in [mm] $V_{T}$ [/mm] and satisfies [mm] $\pi_{t}(g) [/mm] = 0$.
(b) there exists an arbitrage-free model with $f [mm] \in V_{T}$, [/mm] $t [mm] \in \{0,\ldots,T-1\}$ [/mm] and $A [mm] \in F_{t}$ [/mm] such that $f [mm] \cdot \I1_{A} \not\in V_{T}$.
[/mm]
Hint for (a):_ Given a trading strategy for f, construct one for g
2. Problem: An arbitrage possibility in an infinite-period model
Let [mm] $\{X_{n}\}_{n \in \IN}$ [/mm] be [mm] $\{0,1\}$-valued [/mm] random variables satisfying [mm] $\IP\left(\bigcup_{n \in \IN} \{X_{n} = 1\}\right) [/mm] = 1$ and let [mm] $F_{n} [/mm] = [mm] \sigma(X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] for $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] be the generated filtration. With constants $d [mm] \in [/mm] (0,1)$ and $u [mm] \in [/mm] (1, [mm] \infty)$, [/mm] define the discounted asset price process by [mm] $\overline{S_n} [/mm] = [mm] S_{0}u^{N_{n}}d^{n-N_{n}}$ [/mm] for every $n [mm] \in \IN_0$, [/mm] where [mm] $S_0 [/mm] > 0$ denotes the initial asset price and [mm] $N_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i$ [/mm] the number of up-movements until time n.
(a) Find a trading strategy H to double an initial capital [mm] $V_0 [/mm] > 0$ with probability one.
(b) Determine the corresponding "investments" in the bank account using the self-financing condition.
(c) Show that the trading strategy H is admissible if and only if there exists an $n [mm] \in \IN$ [/mm] satisfying [mm] $\IP(X_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] X_n [/mm] = 0) = 0$.
(d) Show that for $N [mm] \in \IN$ [/mm] the finite-period model [mm] $(\overline{S_0},\overline{S_1},\ldots,\overline{S_n})$ [/mm] is arbitrage-free if and only if [mm] $\IP(X_1 [/mm] = [mm] x_1,\ldots,X_n [/mm] = [mm] x_n) [/mm] > 0$ for all [mm] $x_1,\ldots,x_n \in \{0,1\}$.
[/mm]
Hint for (a):[i]invest [mm] $\frac{V_0 (u - d)^{n-1}}{(u - 1)^n}$ [/mm] if [mm] $X_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] X_{n-1} [/mm] = 0$. If $d + u = 2$, this means doubling the investment until the discounted asset price rises.
Wäre sehr dankbar falls mir wer weiterhelfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Di 19.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo emaxx!
Kannst du mir bitte sagen, um welche Vorlesung es sich an welcher Uni handelt und nach welchem Buch ihr vorgeht (bzw. mir einen Link auf ein Skript setzen)?
Mit ist ja sonst nicht klar, wie ihr die ganzen Begriffe definiert habt und was man voraussetzen darf...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mi 20.10.2004 | | Autor: | emaxx |
also das ist die vorlesung finanzmathematik an der uni salzburg!
das problem an der sache ist, dass es kein script in elektronischer form gibt, und wir nicht nach einem bestimmten buch vorgehen! für die vorlesung wurden aber die ersten 10 kapitel des buches "probability with martingales" von david williams vorausgesetzt!
[mm] http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/0521406056/qid=1098271409/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/028-1187272-9789333
[/mm]
es wird also eher nötig sein, dass ich alles reinschreibe, was du nicht weißt! ich hab ja wegen dieser probleme auch in einigen büchern schon nachgeschlagen und die definitionen waren meist ziemlich ident zu denen in unserer vorlesung, also denke ich mal, dass wir da die üblichen definitionen verwendet haben!
ich wäre ja schon mit einer idee wie man auf die lösung ungefähr hinkommen könnte auch schon sehr zufrieden!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 21.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich fürchte das ist mir zu schwierig ohne Skript, weil ich genau nachschauen müsste, was bisher alles in der Vorlesung gemacht wurde. Da diese Aufgabe außer mir nur Brigitte hier im Forum könnte (die aber auf Grund ihrer Dissertation keine Zeit dafür hat), wird dir die Frage hier keiner beantworten (können).
Es tut mir leid, aber dafür ist der Stoff zu schwierig und technisch, um solche Aufgaben mal eben online, ohne Skript, lösen zu können.
Was ich dir anbeiten könnte: Sobald du die Aufgaben gelöst hast, könnte ich deine Beweise kontrollieren, wenn du mir genau angibst, welche Definitionen und Sätze du jeweils verwendet hast.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:27 Fr 22.10.2004 | | Autor: | emaxx |
ja hab ich mir schon gedacht, dass das ohne skript nicht funktionieren wird! aber danke trotzdem für die rasche antwort!
hab heute e wieder vorlesung! werd schaun, dass ich da mal nachfrag!
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