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| Aufgabe | | Ein Kaufmann verfügt am Anfang eines Jahres aus einer Erbschaft über einen Betrag von 30.000 Euro. Er legt das Geld zu 5% Zinsen an. Wie viele Jahre lang kann er jährlich vorschüssig 3.700 Euro aus dem Guthaben entnehmen, bis das Kapital vollständig aufgebraucht ist? |
Ich habe jetzt schon seit Stunden ein großes Fragezeichen über meinem Kopf: ich komme einfach nicht weiter. Bitte helft mir.
so sieht meine Berechnung bis jetzt aus, aber ich weiß nicht, ob diese bis dahin richtig ist. Kann mir jemand vielleicht den komplett richtigen lösungsweg aufschreiben? Danke für eure Hilfe!!!!!
K0*qn = r*q * (qn-1)/(q-1)
30000 * 1,05n = 3700 * 1,05 * (1,05n-1)/(1,05-1) / *0,05
1500 * 1,05n = 3885 * (1,05n-1) / Klammer auflösen
1500 * 1,05n = 3885 * 1,05n - 3885 / /1500
1,05n = 2,59 * 1,05n - 2,59 / UND JETZT?????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Fr 04.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Ein Kaufmann verfügt am Anfang eines Jahres aus einer
> Erbschaft über einen Betrag von 30.000 Euro. Er legt das
> Geld zu 5% Zinsen an. Wie viele Jahre lang kann er
> jährlich vorschüssig 3.700 Euro aus dem Guthaben
> entnehmen, bis das Kapital vollständig aufgebraucht ist?
> Ich habe jetzt schon seit Stunden ein großes Fragezeichen
> über meinem Kopf: ich komme einfach nicht weiter. Bitte
> helft mir.
> so sieht meine Berechnung bis jetzt aus, aber ich weiß
> nicht, ob diese bis dahin richtig ist. Kann mir jemand
> vielleicht den komplett richtigen lösungsweg aufschreiben?
> Danke für eure Hilfe!!!!!
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> K0*qn = r*q * (qn-1)/(q-1)
> 30000 * 1,05n = 3700 * 1,05 * (1,05n-1)/(1,05-1) /
> *0,05
> 1500 * 1,05n = 3885 * (1,05n-1) / Klammer auflösen
> 1500 * 1,05n = 3885 * 1,05n - 3885 / /1500
> 1,05n = 2,59 * 1,05n - 2,59 / UND JETZT?????
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Wenn eine Zahlungsreihe auf und von ein(em) Konto aus einer Zahlung am Anfang in Höhe von [mm] K_0, [/mm] einer am Ende in Höhe von [mm] K_n [/mm] und n regelmäßigen Zahlungen in Höhe von b besteht und eine Zinssatz p.a. in Höhe von p zu Grunde gelegt wird, so dass vor der ersten und nach der letzten Zahlung der Kontostand null ist, gilt mit q:=1+p und [mm] F\in\{0,1\} [/mm]
[mm] 0=K_n+K_0q^n+b\frac{q^n-1}{q-1}(1+pF)
[/mm]
wobei F die Art der Zahlung pro Periode bezeichnet (F=1 für vorschüssig und F=0 für nachschüssig). Die Zahlungen sind dabei positiv oder negativ zu nach Zu- oder Abfluß vom Konto zu nehmen. Hiermit die meisten in der Praxis vorkommenden Fälle erfaßt:
- Sparplan und/oder Einmalanlage
- Entnahmeplan/Zeitrente
- Annuitätisches Darlehen
Du suchts das n. Also mußt Du nach n umstellen. Es gilt [mm] K_n=0 [/mm] und F=1 in Deinem Fall:
EDIT:(Hatte ein q unterschlagen...)
[mm] \frac{bq}{p}=(K_0+b\frac{q}{p})q^n [/mm] oder [mm] q^n=\frac{bq}{pK_0+bq}. [/mm] Daraus erhälst Du
[mm] n=\log(\frac{bq}{pK_0+bq})/\log(q) [/mm]
Nun setzt Du [mm] K_0=30000, [/mm] b=-3700, p=0,05 und q=1,05 ein. Es müßte
n=10,000455.... herauskommen.
LG
gfm
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:55 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Josef |
Hallo gfm,
das Ergebnis ist leider falsch und der Rechenweg viel zu umständlich!
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 08:48 Sa 05.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
>
> das Ergebnis ist leider falsch und der Rechenweg viel zu
> umständlich!
Habs korrigiert. Danke.
Was findest Du denn viel zu umständlich? Wie lautet denn Dein Lösungsweg?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 05.06.2010 | | Autor: | barsch |
Hi,
> K0*qn = r*q * (qn-1)/(q-1)
okay, du meinst: [mm] K_0\cdot{q^{\red{n}}}=r*q*\bruch{q^{\red{n}}-1}{q-1}
[/mm]
Soweit korrekt!
> [mm] 30000\cdot{1,05^{\red{n}}}=3700*1,05*\bruch{1,05^{\red{n}}-1}{1,05-1} [/mm] / *0,05
Das stimmt auch.
> [mm] 1500*1,05^{\red{n}}=3885*(1,05^{\red{n}}-1) [/mm] / Klammer auflösen
Jepp.
> [mm] 1500\cdot{1,05^{\red{n}}} [/mm] = [mm] 3885*1,05^{\red{n}}-3885 [/mm] / /1500
Jaa.
> [mm] 1,05^{\red{n}}=2,59*1,05^{\red{n}}-2,59 [/mm] / UND JETZT?????
Vorschlag:
[mm] 1,05^{\red{n}}=2,59*1,05^{\red{n}}-2,59 [/mm]
addiere auf beiden Seiten 2,59
[mm] 1,05^{\red{n}}+2,59=2,59*1,05^{\red{n}}
[/mm]
und subtrahiere nun [mm] 1,05^{\red{n}} [/mm] auf beiden Seiten:
[mm] 2,59=2,59*1,05^{\red{n}}-1,05^{\red{n}}
[/mm]
Die rechte Seite der Gleichung:
[mm] 2,59*1,05^{\red{n}}-1,05^{\red{n}}\red{=}(2,59-1)*1,05^{\red{n}}
[/mm]
Also:
[mm] 2,59=(2,59-1)*1,05^{\red{n}}
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran. Noch einmal dividieren und dann das n aus dem Exponenten holen (Tipp: ln !)
Gruß
barsch
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