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| Aufgabe | | Finde eine Formel für die Determinante einer Matrix der Form [mm] \pmat{ 0 & B \\ C & D }, [/mm] weobei hier B und C jeweils [mm] k\times{k} [/mm] bzw. [mm] (n-k)\times{(n-k)} [/mm] Matrizen sind, 0 eine Null-Matrix und D eine beliebige Matrix des richtigen Formats sind. |
Ich habe jetzt schon alles probiert. Ich würde gerne zeigen das wenn ich die 2.Zeile mit der 1.Zeile vertausche und somit eine Dreiecksmatrix erhalte, die DetA=(DetC)(DetB).
Also muss die Anzahl der Zeilenvertauschungen gerade sein, nur scheitere ich daran. Ich habe es schon mit verschiedenen Fallunterscheidungen, Zyklenschreibweisen probiert, komme da aber irgendwie nicht weiter. Vielleicht hat einer von euch eine bessere Idee.
Lg,
Tsetsefliege.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
prüf mal für k=1 n=2 und k=2 n=4 und n=3 deine Formel nach! dann siehst du hoffentlich, dass veschidene Vorzeichen vorkommen.
aber warum must du ne !dreiecksmatrix haben, wo unterhalb der Diagonalen Nullen stehen, sie können auch oberhalb stehen.
und denk dran bei deinem Dreieck B kann [mm] k\times [/mm] k und C [mm] (n-k)\times [/mm] (n-k) sein!
Deine Formel ist nur beinahe richtig!
Gruss leduaer
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Danke fü deine Antwort.
Also ich habe jetzt deine vorgeschlagenen Fälle ausgerechnet.
Für n=2, k=1 => Det A= (-1)(Det B)(Det C)
Für n=3, k=2 => Det A = (+1)(Det B)(Det C)
Für n=4, k=2 => Det A = (+1)(Det B)(Det C)
Also das Vorzeichen ist nicht immer dasselbe, wie finde ich jetzt eine allgemeine Formel dafür?
Evt: [mm] (-1)^{2n-k}*(Det [/mm] B)*Det(C) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für n=3 hab ich was anderes!
überleg auch, wie das mit den vertauschungen aus deinem 1. ten post zusammenhängt.
außerdem musst du deine Formel ja beweisen, auf dem Weg solltest du auch zu dem richtigen Ergebnis kommen [mm] (-1)^n*...
[/mm]
Gruss leduart
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Ja, habe mich verrechnet,
Für n=3, k=2 => Det A=(-1)*Det(B)*Det(C)
Ich hänge da gerade ein wenig. Ich habe jetzt drei verschiedene Fälle versucht zu untersuchen;
1.Fall: k=n-k Falls k ungerade ist => Det A= (-1)*.... Falls k gerade ist => (+1)*...
2.Fall: k>(n-k) k gerade=> Det A= (+1)*.... k ung => Det A= (-1)*....
3.Fall: k<(n-k) Muss ich mir noch anschauen
Ist das der richtige Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. k=n-k heißt n=2k also n gerade.
wie du auf deine Ergebnisse kommst solltest du sagen, warum soll ich das alles neu überlegen
bei k>n-k
k=2 n=3 2>3-1 dein Fall 2?
Nochmal, statt die Formel zu raten auf diese weise, versuch sie zu beweisen, dabei kommt das Vorzeichen raus!
Gruss leduart
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1.Fall n=2k
[mm] \pmat{ 0 & B \\ C & D } [/mm] Addiere zweite Zeile zur ersten
-> [mm] \pmat{ C & B+D \\ C & D} [/mm] Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten
-> [mm] \pmat{ C & B+D \\ 0 & -B }
[/mm]
=> Det A= (Det C)*(Det -B) = [mm] (-1)^{k}*(Det [/mm] C)*(Det B)
2.Fall k>n-k
Da weiß ich nicht wie das mit den Zeilenumformungen aussieht, ich denke jedoch das die endgültige Matrix folgende Form haben muss und es insgesamt k Zeilenvertauschungen gibt.
-> [mm] \pmat{ C & D \\ 0 & -B }
[/mm]
3.Fall k<n-k
n-k Zeilenvertauschungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dies " addiere 2 te Zeile.. ist nicht sehr gut, denn die 2 te Zeile ist ja eine Zeile 0 0 0,...,a21 a22, ..a2k
du meinst addiere Zeilenweise die unteren Matrices zu den oberen?
habt ihr denn vorher gezeigt was bei
einer Matrix $ [mm] \pmat{ C & D \\ 0 & B } [/mm] $rauskommt?
dann ist es besser du machst es mit deiner zeilenweise vertauschung, n gerade : gerade Zahl von vert. det A bleibt gleich, n ungerade ungerade Zahl von Vert. Det A ändert ihr Vorzeichen.
Wenn ihr das noch nicht hattet musst du aber noch
für [mm] det(\pmat{ C & D \\ 0 & B })=det(B)*det(C) [/mm] zeigen.
Gruss leduart
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Wir haben bereits gezeigt das die Determinante von einer [mm] n\times{n} [/mm] Matrix [mm] A=\pmat{ B & C \\ 0 & D }, [/mm] wobei [mm] B=k\times{k} [/mm] und [mm] D=(n-k)\times{(n-k)}, [/mm] gleich det A= Det B * Det D ist.
Ich habe mir jetzt noch folgendes überlegt;
Ob k<n-k oder k>n-k spielt eigentlich keine Rolle, denn ich kann folgende Permutation (sie soll die Zeilen von B und C repräsentieren)
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ a \\ b \\ c}, [/mm] also k=6 und n=9 mittels (n-k)k Vertauschungen in die folgende überführen; [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
Ich vertausche also a mit 6, die neue Position von a mit 5 usw. Das gleiche mache ich mit b und c.
Wenn ich mir jetzt eine Permuation anschaue, bei der k<n-k gilt, habe ich wiederum (n-k)k Vertauschungen, also muss ich nur noch untersuchen wann (n-k)k ger. oder ung. ist.
(n-k)k ger. falls k gerade oder k=ungerade und n=ungerade
(n-k)k ung. falls k ung. und n=gerade ist.
Kann ich das so machen? Gibt es irgendeine elegente Möglichkeit eine explizite Formel anzuschreiben, die alle Fälle beinhaltet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
n gerade heisst k und n-k beide gerade oder beide ug
n ungerade, k oder n-k gerade.
d.h. n ungerade ergibt immer + bei n gerade hat du 2 Fälle , also schreibst du wohl am besten [mm] det(A)=(-1)^{k*(n-k)}*det(B)*det(C)
[/mm]
dass du k*(n-k) Vertauschungen brauchst um die unteren Matrices nach oben zu schieben oder die oberen nach unten kannst du einfach ohne Bsp erklären. du musst n-k Zeilen mit k Zeilen nacheinander vertauschen. also k*)n-k) Vertauschungen.
Gut gemacht!
Gruss leduart
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Ok Danke.
Eine letzte Frage hätte ich noch; Angenommen [mm] P=\pmat{ I & B \\ -A & 0 }
[/mm]
und ich möchte zeigen das Det P = detA*detB
A und B sind beides [mm] n\times{n} [/mm] Matrizen
Kann ich da wiefolgt argumentieren; Ich vertausche die 1 mit der 2 Spalte (vollziehe also insgesamt n Spaltenumformungen) [mm] (-1)^n
[/mm]
Von der neuen Matrix [mm] P'=\pmat{ B & I \\ 0 & -A } [/mm] lautet die Det [mm] P'=(-1)^n*Det [/mm] B*Det A. Um Det von P zu berechnen muss ich ja noch [mm] (-1)^n [/mm] dazumultiplizieren, also det P = [mm] (-1)^{2n}*DetA*DetB [/mm] = DetA*DetB
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine argumentation ist richtig, vielleicht solltest du dazuschreiben
[mm] det(-A)=(-1)^n*det(A) [/mm] um det(P') zu begründen und die [mm] n^2 [/mm] Vertauschungen um von P auf P' zu kommen.also hast du eigentlich (-1) [mm] ^{n^2+n} [/mm] aber [mm] n^2+n [/mm] ist ja immer gerade.
Gruss leduart
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