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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:49 Sa 26.05.2012 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | | Finde alle ganzen Funktionen die [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{\pi}{|f(rexp(it)| dt} \le r^{n} [/mm] für alle r>0 und ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] erfüllen |
Moin
Ich hoffe ihr könnt mir einen Hinweis geben, wie man an die Aufgabe herangeht.
Da es ja um ganze Funktionen geht, ist f entweder konstant, ein Polynom oder ganz transzendent.
Im Fall das f konstant ist, wird obige Ungleichung ja nur für [mm] f\equiv [/mm] 0 erfüllt. Falls n=0 dann auch für [mm] f\equiv [/mm] c mit [mm] |c|\le [/mm] 1.
Wie gehe ich nun weiter vor?
Ich habe die Vermutung, dass es keine weiteren solchen ganzen Funktionen gibt, weiß nur nicht wie ich es zeigen kann.
Ist f nicht konstant so könnte ich ja die Mittelwertseigenschaft, ausnutzen die besagt:
f(0)= [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(rexp(it) dt}
[/mm]
Also:
|f(0)| [mm] \le \integral_{0}^{\pi}{|f(rexp(it)| dt} \le r^{n}
[/mm]
Ist [mm] f(0)\not= [/mm] 0 könnte ich zumindest solche Funktionen ausschließen.
Geht das?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 28.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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