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Hallo Leute,
Ein wichtiger Teil ist mir bei dieser Methode unklar. Vielleicht ist es aber besser, ich erzähle erstmal soweit ich das verstanden habe.
Man geht ja zunächst von der Definition des Differentialquotienten einer genügend oft differenzierbaren Funktion $f$ aus:
[mm] $f'\left(x_0\right) [/mm] := [mm] \lim_{h \to 0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$
[/mm]
Alle übrigen möglichen Ableitungen von $f$ erhält man einfach durch Einsetzen. Z.B. erhält man [mm] $f''\left(x_0\right)$ [/mm] so:
[mm]f''\left(x_0\right) = \lim_{h \to 0}{
\frac{f'\left(x_0+h\right)-f'\left(x_0\right)}{h}
} = \lim_{h \to 0}{
\frac{
\frac{f\left(x_0+2h\right)-f\left(x_0+h\right)}{h}-
\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
}{h}
} = \lim_{h \to 0}\frac{f\left(x_0+2h\right)-2f\left(x_0+h\right)+f\left(x_0\right)}{h^2}[/mm]
Und nun kommt der unklare Teil (Zitat aus meiner Mitschrift):
Numerisch: Diskretisierung der DGL: Ersetze [mm] $f''\left(x_0\right)$ [/mm] durch Differenzenquotienten (also durch den Obigen).
(*) Nun sei [mm] $f_j$ [/mm] Näherung für [mm] $f\left(jh\right)$ [/mm] an Stützstellen $j = h$ mit $j = [mm] 0,1,\dotsc,N$ [/mm] mit $j [mm] \in \left[0,1\right]$ [/mm] und $h = [mm] \frac{1}{N}$.
[/mm]
Ergebnis: $N$ Gleichungen für $N$ Unbekannte: [mm] $f_0,\dotsc,f_N$.
[/mm]
Na ja, ehrlich gesagt verstehe ich den Zweck der Erklärung ab (*) nicht. Was genau wird dort berechnet? Wozu ist das gut? Ich könnte mir jetzt doch einfach ein $h$ wählen (z.B. $h = 0.0001$) und dann die 2te Ableitung bei [mm] $x_0$ [/mm] nach dem obigen Differenzenquotienten näherungsweise bestimmen, oder nicht?
Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte.
Grüße
Karl
[P.S. Das Ganze soll nachher irgendwie auf eine Tridiagonalmatrix hinauslaufen (Dazu hatte ich hier sogar schon Sachen gefragt). Bisher habe ich aber nur viele Puzzleteile (Diff-Quotienten;Tridiagonalm.;Diskretisierung) aber das Gesamtbild fehlt.]
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Hallo Karl,
Startpunkt ist ja eine DGL. f,f',f'' sind zunächst unbekannt. Da kannst Du also nix ausrechnen 
also z.B.
f''(x)=g(x); [mm] f(x_0)=a ;f(x_N)=b x_i=x_0+i*h
[/mm]
Jetzt kannst Du nach deiner Methode Gleichungen aufstellen:
[mm] f(x_0)=a
[/mm]
[mm] \bruch{f(x_0)-2f(x_1)+f(x_2)}{h^2}=g(x_1)
[/mm]
....
[mm] \bruch{f(x_{N-2})-2f(x_{N-1})+f(x_N)}{h^2}=g(x_{N-1})
[/mm]
[mm] f(x_N)=b
[/mm]
Da man die Funktion ja nicht kennt wird der Funktionswert als Unbekannte eingeführt:
[mm] f_i:=f(x_i)
[/mm]
[mm] f_0=a
[/mm]
[mm] \bruch{f_0-2f_1+f_2}{h^2}=g(x_1)
[/mm]
....
[mm] \bruch{f_{N-2}-2f_{N-1}+f_N}{h^2}=g(x_{N-1})
[/mm]
[mm] f_N=b
[/mm]
Das sind N+1 Gleichungen für N+1 Unbekannte. Oder Du setzt die erste und die letzte schon ein dann sind's N-1 Gleichungen für N-1 Unbekannte das bleibt Dir nat. selbst überlassen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
Also setzen wir mal [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] x^3$.
[/mm]
Jetzt brauchen wir noch eine kleine Wertetabelle:
[mm]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&1&2&3\\
\hline
f\left(x\right)&0&1&8&27\\
\hline
\end{array}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sei $h := 1\!$ (Das wird wohl eine schlechte Approximation, aber so ist's einfacher. ). Dann erhalten wir:
$f''\left(0\right) \approx f\left(2\right) - 2f\left(1\right) + f\left(0) = 6$
$f''\left(1\right) \approx f\left(3\right) - 2f\left(2\right) + f\left(1\right) = 12$
$f''\left(2\right) \approx f\left(4\right) - 2f\left(3\right) + f\left(2\right) = 18$
$f''\left(3\right) \approx f\left(5\right) - 2f\left(4\right) + f\left(3\right) = 24$
Und wie mache ich nun weiter? Was sind hier die Unbekannten?
Danke für deine Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Ja das kommt darauf an was Du mit den finiten Differenzen machen willst.
1. Aus einer gegebenen Funktion(bzw. Funktionswerten) eine Näherung für die Ableitung berechnen.
Dann ist das was Du da getan hast richtig bis auf einen Fehler
[mm]f''\left(1\right) \approx f\left(2\right) - 2f\left(1\right) + f\left(0\right) = 6[/mm]
So wird die Approximation schon deutlich besser trotz großer Schrittweite
2. Eine Näherung für die unbekannte Lösung einer DGL bestimmen.
3. fällt mir gerade nicht ein aber gibt'S bestimmt
Für (1.) brauchst Du sicher keine Unbekannten bei (2.) schon eher auch eine Tridiagonalmatrix kann hier vorkommen. Deshalb hatte ich spontan auf 2. geschlossen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
> 2. Eine Näherung für die unbekannte Lösung einer DGL
> bestimmen.
> Für (1.) brauchst Du sicher keine Unbekannten bei (2.)
> schon eher auch eine Tridiagonalmatrix kann hier vorkommen.
> Deshalb hatte ich spontan auf 2. geschlossen.
Sehe ich das richtig, daß ich Punkt 2 erfüllen würde, wenn ich bei meinem vorigen Beispiel den Term für [mm] $f\!$ [/mm] (also [mm] $x^3$) [/mm] nicht kennen würde? Wenn ich also nur die Wertetabelle gegeben hätte?
Und wenn ja, wie würde das dann beim vorigen Beispiel mit der Tridiagonalmatrix aussehen?
Das Ziel der Finite Differenzen Methode ist es die [mm] $n\texttt{-te}$ [/mm] Ableitung einer unbekannten genügend oft differenzierbaren Funktion [mm] $f\!$ [/mm] anhand einer Wertetabelle zu approximieren. Ist das richtig? Ich müßte also bei meinem vorigen Beispiel einen Funktionsterm für [mm] $f''(x)\!$ [/mm] rauskriegen, der dem Term [mm] $6x\!$ [/mm] "ähnelt". Stimmt das?
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Den Begriff "finite Differenzen Methode"(war das dasselbe wie Differenzenverfahren![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ) benutzt man imho nur im Zshg. mit Differentialgleichungen. Also
Funktion unbekannt , Funktionswerte auch unbekannt
geg.: Differentialgleichung + Randwerte
Man kann diesen Differenzenstern allerdings auch dazu benutzen um aus gegebenen Funktionswerten eine Näherung für die Ableitung zu berechnen.
> Sehe ich das richtig, daß ich Punkt 2 erfüllen würde, wenn
> ich bei meinem vorigen Beispiel den Term für [mm]f\![/mm] (also [mm]x^3[/mm])
> nicht kennen würde? Wenn ich also nur die Wertetabelle
> gegeben hätte?
Das meinte ich nicht ich meinte weder Funktion noch Funktionswerte bekannt. Deshalb werden die Funktionswerte als Unbekannte eingeführt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn,
> > Vermutungen über Vermutungen ... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> Klarer?
Vielen Dank, ich denke, ich hab's jetzt so halbwegs verstanden. Dieses Verfahren besteht also aus der Substitution von Differentialen durch einfachere Ausdrücke. Und die Tridiagonalmatrix ist jetzt nur eine andere Schreibweise für die Gleichungen, die dabei entstehen.
Viele Grüße
Karl
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