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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mi 02.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
| Aufgabe | Die zeitliche Änderung vom Tierbestand und vom Bestand der Fressfeinde lässt sich als system gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen beschreiben:
T=Tiere
F=Fressfeinde
[mm] $\frac{dT}{dt}=\alpha [/mm] T - [mm] \beta [/mm] FT$
[mm] $\frac{dF}{dt}=\gamma [/mm] FT - [mm] \delta [/mm] F$
Ermitteln Sie die zeitunabhängigen Lösugen (Fixpunkte). |
Ist damit einfach nur gemeint, dass [mm] $\frac{dT}{dt}$ [/mm] konstant ist, wenn es keine Fressfeinde mehr gibt oder was genau ist gemeint und wie soll ich dort vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Do 03.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lukas,
> Die zeitliche Änderung vom Tierbestand und vom Bestand der
> Fressfeinde lässt sich als system gekoppelter
> nichtlinearer Differentialgleichungen beschreiben:
> T=Tiere
> F=Fressfeinde
>
> [mm]\frac{dT}{dt}=\alpha T - \beta FT[/mm]
> [mm]\frac{dF}{dt}=\gamma FT - \delta F[/mm]
>
> Ermitteln Sie die zeitunabhängigen Lösugen (Fixpunkte).
> Ist damit einfach nur gemeint, dass [mm]\frac{dT}{dt}[/mm] konstant
> ist, wenn es keine Fressfeinde mehr gibt oder was genau ist
> gemeint und wie soll ich dort vorgehen?
Mit zeitunabhängiger Lösung ist wohl eine konstante Lösung gemeint, z. B. F=0 und T=0. Alle konstanten Lösungen haben die Form T=a, F=b, wobei a, b die Gleichungen
[mm] $\alpha [/mm] a - [mm] \beta [/mm] ba = 0$
[mm] $\gamma [/mm] ba - [mm] \delta [/mm] b = 0$
erfüllen.
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 03.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
> Hallo Lukas,
>
> > Die zeitliche Änderung vom Tierbestand und vom Bestand der
> > Fressfeinde lässt sich als system gekoppelter
> > nichtlinearer Differentialgleichungen beschreiben:
> > T=Tiere
> > F=Fressfeinde
> >
> > [mm]\frac{dT}{dt}=\alpha T - \beta FT[/mm]
> >
> [mm]\frac{dF}{dt}=\gamma FT - \delta F[/mm]
> >
> > Ermitteln Sie die zeitunabhängigen Lösugen (Fixpunkte).
> > Ist damit einfach nur gemeint, dass [mm]\frac{dT}{dt}[/mm]
> konstant
> > ist, wenn es keine Fressfeinde mehr gibt oder was genau ist
> > gemeint und wie soll ich dort vorgehen?
>
> Mit zeitunabhängiger Lösung ist wohl eine konstante
> Lösung gemeint, z. B. F=0 und T=0. Alle konstanten
> Lösungen haben die Form T=a, F=b, wobei a, b die
> Gleichungen
>
> [mm]\alpha a - \beta ba = 0[/mm]
>
> [mm]\gamma ba - \delta b = 0[/mm]
>
> erfüllen.
>
Danke erst einmal für deine Antwort. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist eine Lösung für die Fixpunkte der Gleichungen:
$ [mm] \frac{dF}{dt}=\gamma [/mm] FT - [mm] \delta [/mm] F $
$ [mm] \frac{dT}{dt}=\alpha [/mm] T - [mm] \beta [/mm] FT $
F=0 und T=0
Dann gibt es noch ein paar Lösungen denn $F= [mm] \frac{\gamma FT}{\delta}$ [/mm] daraus ergibt sich [mm] $T=\frac{\delta}{\gamma}$
[/mm]
und [mm] $T=\frac{\beta FT}{\alpha}$ [/mm] -> [mm] $F=\frac{\alpha}{\beta}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lukas,
das sieht gut aus.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
Die zeitliche Änderung vom Tierbestand und vom Bestand der Fressfeinde lässt sich als system gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen beschreiben:
T=Tiere
F=Fressfeinde
[mm] $\frac{dT}{dt}=\alpha [/mm] T - [mm] \beta [/mm] FT$
[mm] $\frac{dF}{dt}=\gamma [/mm] FT - [mm] \delta [/mm] F$
Ermitteln Sie die zeitunabhängigen Lösugen (Fixpunkte).
DIe Fixpunkte habe ich ja jetzt berechnet.
Ich wollte jetzt nicht noch extra einen neuen Thread aufmachen, da die folgende Aufgabe noch zu dieser hier gehört.:
Zeigen Sie, dass sich bei einer schwachen störung des Systems, welches sich im nicht trivialen fixpunkt befindetdie Änderungen mit den linearen System
[mm] $\frac{d\Delta H}{dt}=-\frac{\beta \delta}{\gamma}\Delta [/mm] R$
[mm] $\frac{d\Delta R}{dt}=\frac{\alpha \gamma}{\beta}\Delta [/mm] H$
Ich weiß absolut nicht, wie ich auf sowas kommen soll. Was ist in dem Fall mit einer "schwachen Störung" gemeint? Google brachte dort keine verwertbaren Ergebnisse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo lukas,
bei diesem Teil der Aufgabe geht es darum, das System, um einen kleinen Wert aus dieser Ruhelage auszulenken und dann nachzuschauen,was dann passiert. Dies wird häufig eingesetzt, um die Art des Fixpunktes zu bestimmen.
Den Ansatz dazu findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier unter Kapitel 3. Es ist eine Reihenentwicklung, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 07.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
Danke erst einmal. Ich beziehe mich jetzt erst einmal auf
$ [mm] \frac{dT}{dt}=\alpha [/mm] T - [mm] \beta [/mm] FT $
Der Fixpunkt ist ja jetzt
[mm] $F=\frac{\alpha}{\beta}$
[/mm]
Jetzt soll ich das Verhalten im Punkt
[mm] $F=\frac{\alpha}{\beta}+ \delta [/mm] y(t)$
untersuchen oder?
Aber was ist in dem Fall nun $y(t)$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ein paar Beutetiere und Fresser gegenueber dem Fixpunkt einsetzestm hast du die Stoerung, also ist dein eines y F das andere T
Gruss leduart
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