Fixpunkt der Abbildung Lsg < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem Ax = b
mit der (n [mm] \times [/mm] n)-Matrix A und der rechten Seite [mm] b\in\IR^{n}. [/mm] A sei mit der Diagonalmatrix D, der unteren Dreiecksmatrix L und der oberen Dreiecksmatrix U als Summe A = D - (L + U) dargestellt.
Zeigen Sie, dass ein Fixpunkt der Abbildung
ψ(x) = (D - ω [mm] L)^{-1} [/mm] [(1 - ω)D +ω U]x + ω (D - ω [mm] L)^{-1}b, [/mm] ω [mm] \in [/mm] (0, 1]
Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist,
wobei (D - ω L) als nichtsingulär vorausgesetzt wird. |
Meine letzte Numerik Aufgabe, vor meiner Klausur! *freu*
Weiss nicht so genau wie ich dieses Aufgabe lösen kann muss ich die Gleichung erst mal so umstellen: (D - (L + U))x=b?
Aber wie soll ich den Fixpunkt darin einbauen? oder ist der Ansatz schon falsch?
Würde mich freuen wenn mir einer helfen könnte und bedanke mich schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mi 07.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bianca!
> Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem Ax = b
> mit der (n [mm]\times[/mm] n)-Matrix A und der rechten Seite
> [mm]b\in\IR^{n}.[/mm] A sei mit der Diagonalmatrix D, der unteren
> Dreiecksmatrix L und der oberen Dreiecksmatrix U als Summe
> A = D - (L + U) dargestellt.
> Zeigen Sie, dass ein Fixpunkt der Abbildung
> ψ(x) = (D - ω [mm]L)^{-1}[/mm] [(1 - ω)D +ω U]x
> + ω (D - ω [mm]L)^{-1}b,[/mm] ω [mm]\in[/mm] (0, 1]
> Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist,
> wobei (D - ω L) als nichtsingulär vorausgesetzt wird.
> Meine letzte Numerik Aufgabe, vor meiner Klausur! *freu*
Schön, sehr schön! Auch *freu*
> Weiss nicht so genau wie ich dieses Aufgabe lösen kann muss
> ich die Gleichung erst mal so umstellen: (D - (L + U))x=b?
> Aber wie soll ich den Fixpunkt darin einbauen? oder ist
> der Ansatz schon falsch?
Das ist ganz einfach: Schreib mal die Gleichung [mm] \psi(x) [/mm] = x mit den Matrizen hin. Dann formst du unter Verwendung der Rechenregeln solange um, bis daraus Ax = b geworden ist. Gezeigt hast du dann: Wenn (für ein x) [mm] \psi(x) [/mm] = x, dann (für dieses x auch) Ax = b.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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aber wie soll ich dann mit ω arbeiten, also wie löse ich das denn auf?
würde dann bei mir so stehen:
(D - ω [mm] L)^{-1} [/mm] (D x - ω D x + ω U) + ω (D - ω [mm] L)^{-1} [/mm] b
Wie soll ich nun weiter machen? dieses ω stört mich irgendwie!
Danke schon mal für die hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 09.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bianca!
> aber wie soll ich dann mit ω arbeiten, also wie löse
> ich das denn auf?
>
> würde dann bei mir so stehen:
> (D - ω [mm]L)^{-1}[/mm] (D x - ω D x + ω U) + ω
> (D - ω [mm]L)^{-1}[/mm] b
> Wie soll ich nun weiter machen? dieses ω stört mich
> irgendwie!
Dann schaun wer mal:
Sei also x ein Fixpunkt, d. h.
[mm] \psi(x) [/mm] = (D - [mm] \omega L)^{-1} [/mm] [(1 - [mm] \omega)D [/mm] + [mm] \omega [/mm] U]x + [mm] \omega [/mm] (D - [mm] \omega L)^{-1}b] [/mm] = x
Das multipliziere ich von links mit (D - [mm] \omega [/mm] L), wobei ich benutze, daß die Matrizenmultiplikation mit der Skalarmultiplikation kommutiert, gibt:
[(1 - [mm] \omega)D [/mm] + [mm] \omega [/mm] U]x + [mm] \omega [/mm] b = (D - [mm] \omega [/mm] L)x
oder (Distributivgesetz)
Dx - [mm] \omega [/mm] Dx + [mm] \omega [/mm] Ux + [mm] \omega [/mm] b = Dx - [mm] \omega [/mm] Lx
und weiter
[mm] \omega [/mm] b = [mm] (\omega [/mm] D - [mm] \omega [/mm] L - [mm] \omega [/mm] U)x
Jetzt noch durch [mm] \omega [/mm] teilen und die Definition A = D-L-U benutzen, dann steht da
b = Ax
Gruß aus dem verschneiten HH-Harburg
Dieter
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Wollte mich nur noch mal bei dir bedanken hat mir sehr geholfen.
Güsse aus dem schönen Berlin!!!! ;)
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