Fixpunkt von Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 25.06.2013 | | Autor: | KongKing |
| Aufgabe | Sei [mm] $D\subset \IC$ [/mm] offen, $f$ holomorph auf $D$ und [mm] $\overline U_1(0)\subset [/mm] D$. Sei weiter $|f(z)|<1$ für alle $z$ mit $|z|=1$
Dann hat
1.) die Gleichung [mm] $f(z)=z^n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] genau n Lösungen in [mm] $U_1(0)$.
[/mm]
2.) $f$ genau einen Fixpunkt in [mm] $U_1(0)$. [/mm] |
Hi Leute!
Die 1.) habe ich hinbekommen. Bei der 2.) stehe ich aber komplett auf dem Schlauch!
Würde mich über einen heißen Tipp sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subset \IC[/mm] offen, [mm]f[/mm] holomorph auf [mm]D[/mm] und [mm]\overline U_1(0)\subset D[/mm].
> Sei weiter [mm]|f(z)|<1[/mm] für alle [mm]z[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm]
> Dann hat
>
> 1.) die Gleichung [mm]f(z)=z^n[/mm] für jedes [mm]n\in \IN[/mm] genau n
> Lösungen in [mm]U_1(0)[/mm].
>
> 2.) [mm]f[/mm] genau einen Fixpunkt in [mm]U_1(0)[/mm].
> Hi Leute!
>
> Die 1.) habe ich hinbekommen. Bei der 2.) stehe ich aber
> komplett auf dem Schlauch!
Echt ? 2.) folgt doch aus 1.) mit n=1
FRED
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> Würde mich über einen heißen Tipp sehr freuen!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 25.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Das musst du mir kurz erklären. $f$ ist doch irgendeine unbekannte holomorphe Funktion. Und nicht umbedingt [mm] $f(z)=z^n$ [/mm] ?
Du siehst ich stehe wirklich auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das musst du mir kurz erklären. [mm]f[/mm] ist doch irgendeine
> unbekannte holomorphe Funktion. Und nicht umbedingt
> [mm]f(z)=z^n[/mm] ?
>
> Du siehst ich stehe wirklich auf dem Schlauch.
Ja, das sehe ich !
Du hast, wie Du gesagt hast, schon gezeigt:
"1.) die Gleichung $ [mm] f(z)=z^n [/mm] $ hat für jedes $ [mm] n\in \IN [/mm] $ genau n Lösungen in $ [mm] U_1(0) [/mm] $. "
Für n=1 bedeutet das:
die Gleichung $ f(z)=z $ hat genau eine Lösung in $ [mm] U_1(0) [/mm] $.
Das bedeutet: f hat in $ [mm] U_1(0) [/mm] $ genau einen Fixpunkt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 25.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Uffff! Na klar!
Ich glaube, ich wollte diese einfache Lösung nicht sehen, weil es sonst als auch keine einfachen Lösungen bei unserer Professorin gibt 
Danke und schönen Abend!
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