Fixpunkte < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 21.01.2008 | | Autor: | JanW1989 |
| Aufgabe | Durch [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \* \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] wird eine Abbildung [mm] \alpha [/mm] des Raumes festgelegt.
Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung [mm] \alpha [/mm] fest bleiben und welche Geraden nicht wieder auf Geraden abgebildet werden. |
Hallo,
Ich habe zwar zu beiden Fragen eine Antwort, jedoch weiß ich nicht wie ich die zweite mathematisch untermauern soll.
zur Frage 1)
Alle Punkte, die in der xy-Ebene liegen sind Fixpunkte der Abbildung.
Um dies zu zeigen habe ich die Abbildungsmatrix mit einem allgemeinen Vektor, dessen z-Koordinate 0 ist multipliziert, wodurch ich ja wieder meinen Ausgangsvektor erhalte.
zur Frage 2)
Alle Geraden, deren Richtungsvektor parallel zur Richtung der Parallelprojektion sind erzeugen in der xy-Ebene nur einen Punkt und keine Gerade. Ich habe versucht einen allgemeinen Geradenpunkt mit der Abbildungsmatrix zu multiplizieren, erhalte jedoch nur "Schrott".
Vll. könnt ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank!
MfG Jan
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> Durch [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \* \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> wird eine Abbildung [mm]\alpha[/mm] des Raumes festgelegt.
> Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung [mm]\alpha[/mm]
> fest bleiben und welche Geraden nicht wieder auf Geraden
> abgebildet werden.
> Hallo,
> Ich habe zwar zu beiden Fragen eine Antwort, jedoch weiß
> ich nicht wie ich die zweite mathematisch untermauern
> soll.
> zur Frage 1)
> Alle Punkte, die in der xy-Ebene liegen sind Fixpunkte der
> Abbildung.
> Um dies zu zeigen habe ich die Abbildungsmatrix mit einem
> allgemeinen Vektor, dessen z-Koordinate 0 ist
> multipliziert, wodurch ich ja wieder meinen Ausgangsvektor
> erhalte.
Hallo,
damit hast Du gezeigt, daß alle Punkte, die in der Ebene liegen, Fixpunkte sind.
Was gibt Dir die Sicherheit, daß es keine weiteren Fixpunkte gibt?
> zur Frage 2)
> Alle Geraden, deren Richtungsvektor parallel zur Richtung
> der Parallelprojektion sind erzeugen in der xy-Ebene nur
> einen Punkt und keine Gerade.
Hast Du denn die Projektionsrichtung schon bestimmen können?
> Ich habe versucht einen
> allgemeinen Geradenpunkt mit der Abbildungsmatrix zu
> multiplizieren,
Zeig mal!
Gruß v. Angela
erhalte jedoch nur "Schrott".
> Vll. könnt ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
> Vielen Dank!
> MfG Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mo 21.01.2008 | | Autor: | JanW1989 |
zu 1.)
Da nur [mm] x_{3} [/mm] gleich 0 die Gleichung erfüllen kann, können Fixpunkte nur in dieser Ebene liegen.
zu 2.)
Ja die Frage nach der Projektionsrichtung ist eine gute. Da habe ich mir auch schon den Kopf drüber zerbrochen, weiß jedoch nicht, wie ich sie errechnen kann. Die z-Koordinate dieses Vektors macht mir Probleme: [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0,5 \\ 1 \\ ?}
[/mm]
Nach der Multiplikation erhalte ich die Gleichungen:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] (x_{0} [/mm] + [mm] r*a_{1}) [/mm] + [mm] 0,5(z_{0} [/mm] + [mm] r*a_{3})
[/mm]
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] (y_{0} [/mm] + [mm] r*a_{2}) [/mm] + [mm] (z_{0} [/mm] + [mm] r*a_{3})
[/mm]
wobei (x0/y0/z0) der allgemeine Stütz- und (a1/a2/a3) der allgemeine Richtungsvektor ist.
Nach Addition der beiden Gleichungen erhalte ich dann:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] y_{1} [/mm] = [mm] (x_{0} [/mm] + [mm] r*a_{1}) [/mm] - [mm] 0,5(y_{0} [/mm] + [mm] r*a_{2})
[/mm]
Naja aber ich muss ja zeigen, dass die [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] eindeutig bestimmt werden können, zumindest sobald man [mm] a_{3} [/mm] festgelegt hat und dass das ganze unabhängig vom Stützvektor ist... Und da habe ich meine Probleme.
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> zu 2.)
> Ja die Frage nach der Projektionsrichtung ist eine gute.
> Da habe ich mir auch schon den Kopf drüber zerbrochen, weiß
> jedoch nicht, wie ich sie errechnen kann.
Hallo,
Du postest im Oberstufenforum, und ich kann Deinem Profil nicht entnehmen, was man voraussetzen kann.
Sind Dir die Begriffe Bild und Kern bekannt?
Falls ja: überlege Dir, daß Du mit der Bestimmung des Kerns die Projektionsrichtung findest.
Ohne Kern:
Überlege Dir, daß der Kern all die Vektoren sind, die auf die Null abgebildet werden,
also die, für die gilt
$ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $
Das liefert Dir ein lineares Gleichungssystem.
Die Lösung wird nicht eindeutig sein, weil natürlich Vektoren jeglicher Länge auf die Null projeziert werden, sofern sie die richtige Richtung haben. (Falls Du an der Uni bist: Eigenvektoren zum Eigenwert 0)
Kommst Du heirmit jetzt weiter?
Gruß v. Angela
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