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| Aufgabe | Sei k [mm] \in \IR. [/mm] Beweisen Sie, dass die Abbildung
T: [mm] \IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \to \vektor{\bruch{x^2+y}{4} \\ 2+cos(\bruch{x+k}{2})}
[/mm]
genau einen Fixpunkt [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit [mm] |x|\le [/mm] 1 und [mm] |y|\le [/mm] 3.
Hinweis: Benutzen Sie die Metrik [mm] d(\vektor{x \\ y},\vektor{x´ \\ y´})=max [/mm] (|x-x´|,|y-y´|) |
Hi. Habe bisschen Verständnisprobleme mit dieser Aufgabe, obwohl ich sogar die Lösung habe. Hatte sogar bei Matheplanet nachgefragt, aber da konnte mir keiner so richtig helfen. Deswegen hoffe ich hier auf bessere Erklärungen. Wäre echt super.
Lösung:
Für [mm] |x|\le [/mm] 1 und [mm] |y|\le [/mm] 3 gilt:
[mm] |\bruch{x^2+y}{4}|\le \bruch{1+3}{4}=1 [/mm] und
[mm] |2+cos(\bruch{x+k}{2})| \le [/mm] 2 + [mm] |cos(\bruch{x+k}{2})| \le [/mm] 3
Damit bildet T die abgeschlossene Teilmenge B:=[-1,1]X[-3,3] von [mm] \IR^2 [/mm] auf sich selbst ab.
Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz mit der im Hinweis angegebenen Metrik d benutzen. Dafür bleibt zu zeigen, dass T eine Kontraktion auf B bezüglich dieser Metrik ist.
Wir berechnen für (x,y),(v,w) [mm] \in [/mm] B:
[mm] T\vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] T\vektor{v \\ w}=\vektor{\bruch{x^2+y}{4} - \bruch{v^2+y´}{4} \\ cos(\bruch{x+k}{2} - cos(\bruch{v+k}{2}}=\vektor{\bruch{1}{4} (x+v)(x-v) + \bruch{y-w}{4}\\ -2sin(\bruch{x+v+2k}{4})sin(\bruch{x-v}{4})}
[/mm]
also wegen [mm] |\bruch{1}{4}(x+v)| \le \bruch{1}{2}, |sin(\bruch{x+v+2k}{4})| \le [/mm] 1 und [mm] |sin(\bruch{x-v}{4})| \le |\bruch{x-v}{4}| [/mm]
und damit:
[mm] d(T\vektor{x \\ y},T\vektor{v \\ w}) \le max(\bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w|,\bruch{1}{2}|x-v|)= \bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w| \le \bruch{3}{4}d(\vektor{x \\ y},\vektor{v \\ w}).
[/mm]
Damit ist T eine Kontraktion auf B und es gibt genau einen Fixpunkt.
Ich weiß allgemein erstmal nicht, was ich zeigen muss, um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können.
Also der Anfang ist noch klar, aber dann
1. Warum berechnet man: [mm] T\vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] T\vektor{v \\ w} [/mm] und woher weiß ich, dass ich das machen muss?
2. dann weiß ich nicht, warum die das hier machen: [mm] |\bruch{1}{4}(x+v)| \le \bruch{1}{2}, |sin(\bruch{x+v+2k}{4})| \le [/mm] 1 und [mm] |sin(\bruch{x-v}{4})| \le |\bruch{x-v}{4}| [/mm]
3. und schließlich, wie kommt man auf [mm] d(T\vektor{x \\ y},T\vektor{v \\ w}) \le max(\bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w|,\bruch{1}{2}|x-v|) [/mm] und warum ist durch [mm] \bruch{3}{4}d(\vektor{x \\ y},\vektor{v \\ w}) [/mm] alles gezeigt.
Würde mich über Erläuterungen sehr freuen.
Danke und Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies erstmal die vorraussetzungen, die für die Anwendung des B. Fixpunktsatzes notwendig sind.
Die musst du zeigen!
also a) Abb auf abg. Gebiet, b) kontrahierend in anderen Worten abstandverkleinernd.
Anschaulich, wenn der Abstand bei jedem Schritt der Iteration um denselben Faktor q<1 verkleinert wird, landet man an einem Punkt.
zur zweiten Frage: wie berechnest du den Abstand von 2 Punkten T(x,y)°t= [mm] (a,b)^T=(f(x,y),g(x,y))^T [/mm] und [mm] (c,d)^T=(f(u,v),g(u,v))
[/mm]
lies nach, wie der Abstand d definiert ist!
dazu musst du die Differenzen bilden .
dann wird gezeigt, dass der um den Faktor 3/4 kleiner ist als der Abstand von [mm] (x,y)^T [/mm] von [mm] (u,v)^T
[/mm]
Gruss leduart
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HI.
ok,danke erstmal.
trotzdem habe ich die folgenden fragen immer noch nicht verstanden:
1. warum die das hier machen: $ [mm] |\bruch{1}{4}(x+v)| \le \bruch{1}{2}, |sin(\bruch{x+v+2k}{4})| \le [/mm] $ 1 und $ [mm] |sin(\bruch{x-v}{4})| \le |\bruch{x-v}{4}| [/mm] $
das wird doch niergends benutzt, oder überseh ich gerade was?
2. habe noch nicht verstanden wie die auf
$ [mm] d(T\vektor{x \\ y},T\vektor{v \\ w}) \le max(\bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w|,\bruch{1}{2}|x-v|)= \bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w| \le \bruch{3}{4}d(\vektor{x \\ y},\vektor{v \\ w}). [/mm] $ kommen.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 19.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> trotzdem habe ich die folgenden fragen immer noch nicht
> verstanden:
>
> 1. warum die das hier machen: [mm]|\bruch{1}{4}(x+v)| \le \bruch{1}{2}[/mm]
da stand doch In der Differenz der T : (x-v)*(x+v)
davon will man später das max abschätzen und dann ist max((x-v)*(x+v))<max(1/2*(x-v))
[mm] |sin(\bruch{x+v+2k}{4})| \le[/mm] [/mm]
> 1 und [mm]|sin(\bruch{x-v}{4})| \le |\bruch{x-v}{4}|[/mm]
>
> das wird doch niergends benutzt, oder überseh ich gerade
> was?
entsprechend das zweite.
> 2. habe noch nicht verstanden wie die auf
> [mm]d(T\vektor{x \\ y},T\vektor{v \\ w}) \le max(\bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w|,\bruch{1}{2}|x-v|)[/mm]
genau da wirde das oben benutzt!
Warum hast du nicht mal exakt wie ichs dir geraten hab
[mm] d(T\vektor{x \\ y},T\vektor{v \\ w}) [/mm]
hingeschrieben und dann angefangen das abzuschätzen!
Wenn man was nicht verfolgen kann, schreibt man erst mal jeden weggelassenen Zwischenschritt hin! und wenn da gleich ein [mm] \le [/mm] steht ist das = weggelassen!
= [mm] \bruch{1}{2}|x-v|+\bruch{1}{4}|y-w| \le \bruch{3}{4}d(\vektor{x \\ y},\vektor{v \\ w}).[/mm] [/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Do 19.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
oh ja, jetzt sehe ich es auch.
manchmal braucht man länger, bis es klick macht 
danke.
gruß
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