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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Do 22.12.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Für die Zufallsv. [mm] X_{n} [/mm] die die Anzahl der Fixp. einer rein zufälligen Permutation von 1,2,...,n beschreibt, wird nach folgender formel berechnet:
[mm] P({X_{n} = k}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} \summe_{r=0}^{n - k} \bruch{(-1)^r}{r!} [/mm] für k = 0,...,n
Warum ist [mm] P({X_{7}=6}) [/mm] = 0 ? Begründe ohne Formel und begründe weiter, Für welche k [mm] P({X_{n}=k}) [/mm] = 0 gilt. |
also die W hab ich bis für 0<=k<=7 berechnet:
> 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720 - 1/5040
[1] 0.3678571
> 1/2*( 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120)
[1] 0.1833333
> 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720
[1] 0.3680556
> 1/6*( 1/2 - 1/6 + 1/24)
[1] 0.0625
> 1/24*( 1/2 - 1/6)
[1] 0.01388889
> 1/120*( 1/2)
[1] 0.004166667
> 1/5040
[1] 0.0001984127
Wie kann ich nun sagen für welche k eben =0 gilt? Es geht um Permutationen von den Zahlen 1,...,n und [mm] X_{n} [/mm] gibt die Anzahl der Fixpunkte an...
Frage ist also: Warum ist die W. für 6 Fixpunkte bei 7 Elementen gleich 0?
Hab ich das richtig aufgefasst??
Dann wäre meine Antwort:
Weil 6 Fixp. impliziert, dass das 7. Element eben keiner ist und es ergibt sich ein widerspruch da dies nicht möglich ist.
--> [mm] P({X_{n}=k}) [/mm] = 0 g.d.w. k=n-1
Bsp.:
mod7
01234567
0123456!!
man sieht dass das 7. Element nirgendwo hin abgebildet werden kann wenn 6 Elemente fix bleiben.
Oder lieg ich jetzt komplett daneben???
Danke an alle Nachteulen :)
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> Für die Zufallsv. [mm]X_{n}[/mm] die die Anzahl der Fixp. einer
> rein zufälligen Permutation von 1,2,...,n beschreibt, wird
> nach folgender formel berechnet:
> [mm]P({X_{n} = k})[/mm] = [mm]\bruch{1}{k!} \summe_{r=0}^{n - k} \bruch{(-1)^r}{r!}[/mm]
> für k = 0,...,n
>
> Warum ist [mm]P({X_{7}=6})[/mm] = 0 ? Begründe ohne Formel und
> begründe weiter, Für welche k [mm]P({X_{n}=k})[/mm] = 0 gilt.
>
> also die W hab ich bis für 0<=k<=7 berechnet:
> > 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720 - 1/5040
> [1] 0.3678571
> > 1/2*( 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120)
> [1] 0.1833333
> > 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720
> [1] 0.3680556
> > 1/6*( 1/2 - 1/6 + 1/24)
> [1] 0.0625
> > 1/24*( 1/2 - 1/6)
> [1] 0.01388889
> > 1/120*( 1/2)
> [1] 0.004166667
> > 1/5040
> [1] 0.0001984127
>
>
> Wie kann ich nun sagen für welche k eben =0 gilt? Es geht
> um Permutationen von den Zahlen 1,...,n und [mm]X_{n}[/mm] gibt die
> Anzahl der Fixpunkte an...
> Frage ist also: Warum ist die W. für 6 Fixpunkte bei 7
> Elementen gleich 0?
>
> Hab ich das richtig aufgefasst??
> Dann wäre meine Antwort:
> Weil 6 Fixp. impliziert, dass das 7. Element eben keiner
> ist und es ergibt sich ein widerspruch da dies nicht
> möglich ist.
> --> [mm]P({X_{n}=k})[/mm] = 0 g.d.w. k=n-1
richtig gedacht, kann man aber noch etwas geschickter formulieren.
Wenn es 6 Fixpunkte gibt, bleibt für das 7. Element keine andere Möglichkeit mehr als auf sich selbst abgebildet zu werden.
>
> Bsp.:
>
> mod7
>
> 01234567
> 0123456!!
> man sieht dass das 7. Element nirgendwo hin abgebildet
> werden kann wenn 6 Elemente fix bleiben.
>
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> Oder lieg ich jetzt komplett daneben???
Nein, das ist der richtige Ansatz, siehe oben.
>
> Danke an alle Nachteulen :)
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