Fixpunkte einer Abb. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 22.04.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Wir betrachten die lineare Abbildung [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^{3} -->\IR^{3}, [/mm] welche bezüglich der kanonischen Basis B (jeweils im Urbild- und Bildraum) mittels folgender Matrix beschrieben wird:
[mm] D=\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 -8 -4 }
[/mm]
I) Bestimmen sie alle Fixpunkte von [mm] \gamma, [/mm] also alle x mit [mm] x=\gamma(x)=Dx [/mm] |
Was mir klar ist:
[mm] \gamma(0)=D(0)=\lambda0
[/mm]
Von 0 verschiedene Vektoren, die diese Gleichung erfüllen, heißen Eigenvektoren zum Eigenwert x von D bzw. [mm] \gamma.
[/mm]
Ich brauche also (D - [mm] \lambda [/mm] E)x=0
Damit berechne ich mir die [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] (...in diesem Fall), die durch lambda bestimmt werden.
Ich habe die Lösung der Aufgabe vor mir.
Leider fängt diese gleich folgendermaßen an:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -4 & |0 \\ 4 & -13 & 7 |0 \\ -1 -8 -13 |0 }
[/mm]
Diese Matrix wird dann ausgeräumt...
Was wurde hier gemacht?? Das [mm] \bruch{1}{9} [/mm] vor D ist weg und die Hauptdiagonale wurde mit 9 subtrahiert. Wo kommt das her??
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Hallo perl,
> Wir betrachten die lineare Abbildung [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^{3} -->\IR^{3},[/mm]
> welche bezüglich der kanonischen Basis B (jeweils im
> Urbild- und Bildraum) mittels folgender Matrix beschrieben
> wird:
>
> [mm]D=\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 -8 -4 }[/mm]
Das ist wohl so gemeint:
[mm]D=\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }[/mm]
>
> I) Bestimmen sie alle Fixpunkte von [mm]\gamma,[/mm] also alle x mit
> [mm]x=\gamma(x)=Dx[/mm]
>
>
> Was mir klar ist:
> [mm]\gamma(0)=D(0)=\lambda0[/mm]
> Von 0 verschiedene Vektoren, die diese Gleichung
> erfüllen, heißen Eigenvektoren zum Eigenwert x von D bzw.
> [mm]\gamma.[/mm]
>
> Ich brauche also (D - [mm]\lambda[/mm] E)x=0
> Damit berechne ich mir die [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{3}[/mm] (...in diesem
> Fall), die durch lambda bestimmt werden.
>
> Ich habe die Lösung der Aufgabe vor mir.
> Leider fängt diese gleich folgendermaßen an:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -4 & |0 \\ 4 & -13 & 7 |0 \\ -1 -8 -13 |0 }[/mm]
>
> Diese Matrix wird dann ausgeräumt...
> Was wurde hier gemacht?? Das [mm]\bruch{1}{9}[/mm] vor D ist weg
> und die Hauptdiagonale wurde mit 9 subtrahiert. Wo kommt
> das her??
Fixpunkt einer linearen Abbildung sind Lösungen der Gleichung
[mm]\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
Umgestellt ergibt:
[mm]\left(\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }-\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1}\right)\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Dies in Matrixschreibweise ergibt den Anfang der Lösung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 22.04.2011 | | Autor: | perl |
> Das ist wohl so gemeint:
>
> [mm]D=\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }[/mm]
>Wieso schaut des bei dir so schön aus :(^^
> Fixpunkt einer linearen Abbildung sind Lösungen der
> Gleichung
>
> [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
>
> Umgestellt ergibt:
>
> [mm]\left(\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }-\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1}\right)\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Dies in Matrixschreibweise ergibt den Anfang der Lösung.
AAAh ok... durch die Abb. von x wird die Richtung nicht verändert (bis auf das Vorzeichen) und x geht in ein [mm] \lambda [/mm] -faches von sich über.
Bei Fixpunkten ist [mm] \lambda [/mm] dann natürlich 1...
Soweit so gut, aber wie kriegt man dieses blöde [mm] \bruch{1]}{9} [/mm] vor der Matrix D weg? -.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Fr 22.04.2011 | | Autor: | perl |
Ach ... ich kann ja alles mit 9 multiplizieren.... ändert ja nix wenn der Nullvektor auf der rechten Seite steht...
aaaaaah sorry... ich geh lieber ins bett und mach morgen weiter bevor ich euch hier nerve!
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Hallo perl,
> > Das ist wohl so gemeint:
> >
> > [mm]D=\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }[/mm]
>
> >Wieso schaut des bei dir so schön aus :(^^
>
> > Fixpunkt einer linearen Abbildung sind Lösungen der
> > Gleichung
> >
> > [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
>
> >
> > Umgestellt ergibt:
> >
> > [mm]\left(\bruch{1}{9}\pmat{ 8 & 1 & -4 \\ 4 & -4 & 7 \\ -1 & -8 & -4 }-\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1}\right)\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > Dies in Matrixschreibweise ergibt den Anfang der Lösung.
> AAAh ok... durch die Abb. von x wird die Richtung nicht
> verändert (bis auf das Vorzeichen) und x geht in ein
> [mm]\lambda[/mm] -faches von sich über.
> Bei Fixpunkten ist [mm]\lambda[/mm] dann natürlich 1...
>
> Soweit so gut, aber wie kriegt man dieses blöde
> [mm]\bruch{1]}{9}[/mm] vor der Matrix D weg? -.-
In dem jedes Element der Matrix mit [mm]\bruch{1}{9}[/mm] multipliziert wird.
Gruss
MathePower
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