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| Aufgabe | Im Folgenden benutzen wir die Normalform
[mm] \pmat{ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon }
[/mm]
Eine Schubspiegelung im Raum $E$ ist eine Isometrie der Form [mm] $\tau_u \circ \sigma_U$, [/mm] wobei [mm] $\sigma_U$ [/mm] die Spiegelung an einer Ebene $U [mm] \subset [/mm] E$ bezeichnet und der Translationsvektor $u$ parallel zu $U$ ist.
Wir betrachten nun eine beliebige orientierungsumkehrende affine Abbildung [mm] $\varphi_{v,F}$ [/mm] von $E$ (also [mm] $\det [/mm] F=-1$) und benutzen die obige Normalform. Mit [mm] $b=b_3$ [/mm] bezeichnen wir den "dritten Basisvektor", also einen Eigenvektor zum Eigenwert $-1$.
a) Gib unter Benutzung des Vektors $b$ eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass [mm] $\varphi_{v,F}$ [/mm] einen Fixpunkt besitzt.
b) Zeige, dass [mm] $\varphi_{v,F}$ [/mm] entweder einen Fixpunkt besitzt und somit eine Drehspiegelung (einschließlich Sonderfällen) ist oder eine echte Schubspiegelung ist. |
Hallo,
also mal rein anschaulich: Eine echte Schubspiegelung kann doch eh keine Fixpunkte haben, oder? D.h. eine notwendige Bedingung wäre, dass $u$ also der Translationsvektor gleich Null ist. Dann wäre diese Bedingung auch hinreichend, weil alle Punkte auf der Spiegelungsgeraden Fixpunkte sind. Aber wie soll ich das denn wohl mit dem Vektor $b$ und der Normalform zeigen? Also $b$ ist Eigenvektor zum EW -1, dann gilt [mm] $\varphi_{v,F}(b)=-b$....ok, [/mm] dann muss also [mm] $\varepsilon=-1$ [/mm] sein? Klar, weil die Drehmatrix, die in der Normalform drin ist Determinante 1 hat und die gesamte Determinante -1 sein soll.....aber was hat das mit den Fixpunkten zu tun?
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 22.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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