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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Fixpunktgleichung in D genau einen Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] besitzt und dass die zugehörige Picard-Iteration für jeden beliebigen Startwert [mm] x^{(0)} [/mm] aus D gegen diesen Fixpunkt konvergiert.
[mm] f_1(x)=x_1*x_2
[/mm]
[mm] f_2(x)=1/2 ((sinx_1)^2 [/mm] + [mm] sinx_2)
[/mm]
[mm] D:=\{x=(x_1,x_2)^T:|x_1|\le\frac{1}{4}, |x_2|\le\frac{1}{4}\} [/mm] |
Hallo!
ist für mich die erste aufgabe zu diesem thema, deshalb ein paar fragen...
Ich muss hier den Banachfixpunktsatz anwenden, oder?
Um 1. die Kontraktionseigenschaft zu zeigen, hab ich die Jacobimatrix gebildet: J = [mm] \pmat{x_2& x_1\\sin(x_1)*cos(x_1) &1/2cos(x_2)} [/mm] und dann eine Matrixnorm gesucht mit [mm] \||J\|| [/mm] < 1. Habs mal mit der Unendlichnorm versucht:
[mm] \||J_f(x)|| [/mm] = max [mm] \{|x_1|+|x_2|; |sin(x_1)*cos(x_1)|+|1/2cos(x_2)\}
[/mm]
hab für die [mm] x_i [/mm] (i=1,2) 1/4 eingesetzt aus dem Defbereich.
es gilt ja |sin(x)|<|x| - wobei ich mit diesen abschätzungen nicht ganz sicher bin:
hab einmal 1/4*1/4+1/2*1/4=3/16 < 1/4+1/4 =1/2<1. Dürfte ich dann 1/2 als Lipschitzkonstante wählen?
und dann muss ich ja noch das mit der selbstabbildung zeigen, d.h. dass
f(x) [mm] \in [/mm] D für alle [mm] x\in [/mm] D:
[mm] f_1(1/4)=1/16 [/mm] < 1/4
[mm] f_2(1/4) [/mm] = 0.002191... < 1/4.
wäre es damit gezeigt?
und für die aufgabe muss ich da auch noch herausfinden was der fixpunkt ist, oder langt es diese beiden eigenschaften zu zeigen?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Hallo!
> ist für mich die erste aufgabe zu diesem thema, deshalb
> ein paar fragen...
> Ich muss hier den Banachfixpunktsatz anwenden, oder?
> Um 1. die Kontraktionseigenschaft zu zeigen, hab ich die
> Jacobimatrix gebildet: J = [mm]\pmat{x_2& x_1\\sin(x_1)*cos(x_1) &1/2cos(x_2)}[/mm]
> und dann eine Matrixnorm gesucht mit [mm]\||J\||[/mm] < 1. Habs mal
> mit der Unendlichnorm versucht:
> [mm]\||J_f(x)||[/mm] = max [mm]\{|x_1|+|x_2|; |sin(x_1)*cos(x_1)|+|1/2cos(x_2)\}[/mm]
>
> hab für die [mm]x_i[/mm] (i=1,2) 1/4 eingesetzt aus dem
> Defbereich.
> es gilt ja |sin(x)|<|x| - wobei ich mit diesen
> abschätzungen nicht ganz sicher bin:
> hab einmal 1/4*1/4+1/2*1/4=3/16 < 1/4+1/4 =1/2<1. Dürfte
> ich dann 1/2 als Lipschitzkonstante wählen?
Mit der Zur Maximum Norm gehörenden Zeilensummennorm würde ich das jetzt mal anzweifeln. Es sei denn ![[]](/images/popup.gif) Google taugt nicht zum Rechnen.
> und dann muss ich ja noch das mit der selbstabbildung
> zeigen, d.h. dass
> f(x) [mm]\in[/mm] D für alle [mm]x\in[/mm] D:
> [mm]f_1(1/4)=1/16[/mm] < 1/4
> [mm]f_2(1/4)[/mm] = 0.002191... < 1/4.
> wäre es damit gezeigt?
> und für die aufgabe muss ich da auch noch herausfinden was
> der fixpunkt ist, oder langt es diese beiden eigenschaften
> zu zeigen?
Mit der Selbstabbildung würde ich versuchen über die Norm der Ableitung zu gehen da F(0)=0 ist klappt wohl folgendes
[mm] \|F(x)-F(0)\|_{\infty}\le\|J\|_{\infty}*\|x-0\|_{\infty}
[/mm]
So einen "Mittelwertsatz gibt ja auch im mehrdimensionalen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
danke für deine hinweise. wusste gar nicht was google alles kann =)
Nur versteh ich das noch nicht ganz. warum kann ich das hier
[mm] \|F(x)-F(0)\|_{\infty}\le\|J\|_{\infty}\cdot{}\|x-0\|_{\infty} [/mm] für die selbstabbildung verwenden?
das sieht für mich eher aus wie die kontraktionseigenschaft?
und an dieser norm [mm] \|J\|_{\infty} [/mm] häng ich noch, wie ich sie richtig berechnen kann ?
wir hatten diesen satz zur kontraktionseigenschaft, dass für eine induz.Matrixnorm gilt L:= sup [mm] \{\|J_F\|: x\in D \}, [/mm] dann gilt [mm] \|F(x)-F(y)\| \leq [/mm] L [mm] \|x-y\| [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] D. aber dazu müsste ich ads L ja kleiner 1 bekommen... oder ist der wert den du bei google berechnet hast das maximum, dann könnte man ungefähr L=0.7 nehmen?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> [mm]\|F(x)-F(0)\|_{\infty}\le\|J\|_{\infty}\cdot{}\|x-0\|_{\infty}[/mm]
> für die selbstabbildung verwenden?
> das sieht für mich eher aus wie die
> kontraktionseigenschaft?
JA soll auch so aussehen 
Deine Menge sieht ja so aus [mm]\{x \in \mathbb{R}^2 :\|x\|_{infty}\le\frac{1}{4} \}[/mm]
Nun gilt aber
[mm]\|F(x)\|=\|F(x)-F(0)\|_{\infty}\le\underbrace{\|J\|_{\infty}}_{<1}\cdot{}\underbrace{\|x-0\|_{\infty}}_{\le \frac{1}{4}}\le\frac{1}{4}[/mm]
Mit anderen Worten wenn Betrag J kleiner 1 liegt F(x) in deiner Menge.
> und an dieser norm [mm]\|J\|_{\infty}[/mm] häng ich noch, wie ich
> sie richtig berechnen kann ?
> wir hatten diesen satz zur kontraktionseigenschaft, dass
> für eine induz.Matrixnorm gilt L:= sup [mm]\{\|J_F\|: x\in D \},[/mm]
> dann gilt [mm]\|F(x)-F(y)\| \leq[/mm] L [mm]\|x-y\|[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] D.
> aber dazu müsste ich ads L ja kleiner 1 bekommen... oder
> ist der wert den du bei google berechnet hast das maximum,
> dann könnte man ungefähr L=0.7 nehmen?
Das überblicke ich gerade nicht hast Du Dir die Funktion [mm]|sin(x_1)\cdot{}cos(x_1)| + \left|\frac{1}{2\cos(x_2)}\right|[/mm] Also die Zeilensumme der Matrix für die 2.Zeile mal zeichnen lassen(im entsprechenden Bereich), um zu sehen ob das der richtige Ansatz ist?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
oh die abschätzung gefällt mir, jetzt versteh ich das =) bleibt nur zu zeigen dass wirklich [mm] \|J_F\|_{\infty} \leq [/mm] 1 ist...
hmm, neh, meinst du [mm] |sin(x_1) cos(x_1)| [/mm] + | [mm] \frac{1}{2} cos(x_2)| [/mm] mit matlab plotten? weiß leider nicht so genau wie die befehle dafür sind... ich mein ich hab beide summanden einzeln mal mit funkyplot angeschaut, aber das hilft wohl nicht so viel, oder...?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> oh die abschätzung gefällt mir, jetzt versteh ich das =)
> bleibt nur zu zeigen dass wirklich [mm]\|J_F\|_{\infty} \leq[/mm] 1
> ist...
> hmm, neh, meinst du [mm]|sin(x_1) cos(x_1)|[/mm] + | [mm]\frac{1}{2} cos(x_2)|[/mm]
> mit matlab plotten? weiß leider nicht so genau wie die
> befehle dafür sind... ich mein ich hab beide summanden
> einzeln mal mit funkyplot angeschaut, aber das hilft wohl
> nicht so viel, oder...?
Doch das reicht völlig.
Es sollte sich ergeben haben das [mm] cos(x_1)*sin(x_1) [/mm] im betrachteten Bereich recht klein bleibt. Es scheint also der richtige Weg zu sein. Jetzt mußt Du abschätzen. -> Wie groß kann der Betrag des cos sein?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
ja, schon... es gilt ja |sin(x)| [mm] \leq [/mm] |x | . gilt das auch für cos?oder langt es zu sagen cos bleibt kleiner 1, also der betrag | 1/2 * cos(x)| [mm] \leq [/mm] 1/2 ? oder mit was würdest Du es abschätzen?
Viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Trau Dich!
> Hi Mathemaduenn,
>
> ja, schon... es gilt ja |sin(x)| [mm]\leq[/mm] |x | . gilt das auch
> für cos?oder langt es zu sagen cos bleibt kleiner 1, also
> der betrag | 1/2 * cos(x)| [mm]\leq[/mm] 1/2 ? oder mit was würdest
> Du es abschätzen?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
... okay, dann schätz ich das so ab:
[mm] |sin(x_1)*cos(x_1)| [/mm] + |1/2 * [mm] cos(x_2)| \leq [/mm] 1/4 + 1/2 = 3/4
d.h. [mm] \|J_F\|_{\infty} [/mm] = 3/4, damit ist die Eigenschaft der Selbstabbildung gezeigt und außerdem kann ich dann auch L=3/4 wählen für die Kontraktion.
und den Fixpunkt selbst muss ich bei dieser Aufgabe nicht bestimmen, oder?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Hi Mathemaduenn,
>
> ... okay, dann schätz ich das so ab:
> [mm]|sin(x_1)*cos(x_1)|[/mm] + |1/2 * [mm]cos(x_2)| \leq[/mm] 1/4 + 1/2 =
> 3/4
> d.h. [mm]\|J_F\|_{\infty}[/mm] = 3/4, damit ist die Eigenschaft der
> Selbstabbildung gezeigt und außerdem kann ich dann auch
> L=3/4 wählen für die Kontraktion.
> und den Fixpunkt selbst muss ich bei dieser Aufgabe nicht
> bestimmen, oder?
Steht nicht da wäre aber nicht schwer. Genaugenommen hatten wir den doch schon irgendwo ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
stimmt, der nullvektor =)
vielen dank für deine hilfe !
gruß riley
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