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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mi 22.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Hi.
Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe von Fixpunktiterationen:
a) [mm] \cos{x}-\bruch{1}{x}\sin{x}=0
[/mm]
b) [mm] x^{5}+x-3=0
[/mm]
Also bei a) habe ich nichtmal eine Idee, wie ich Anfangen könnte :-(
Bei b) würde ich die Gleichung erstmal folgendermaßen umformen:
[mm] x^{5}+x-3=0
[/mm]
[mm] x^{5}-3=-x
[/mm]
[mm] -x^{5}+3=x
[/mm]
Mit der letzten Gleichung könnte ich ja jetzt die Fixpunktiteration durchführen und den Fixpunkt bestimmen. Dieser gibt mri doch dann den Wert von x an, der die Gleichung erfüllt, oder? Doch wie berechne ich diesen Fixpunkt?
MfG
Christian
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Hallo!
> Dieser gibt mri doch dann den Wert von x an, der die
> Gleichung erfüllt, oder?
Ja.
Doch wie berechne ich diesen
> Fixpunkt?
>
Eine Fixpunktiteration geht so:
Du nimmst Dir einen Startwert [mm] x_{0}.
[/mm]
[mm] x_{1}=F(x_{0})
[/mm]
[mm] x_{2}=F(x_{1})
[/mm]
Allgemein: [mm] x_{n+1}=F(x_{n})
[/mm]
Daß Du Dich einer Lösung der Gleichung näherst, klappt aber nur, wenn Du Dich in Bereichen bewegst, in denen die Voraussetzengen eines Fixpunktsatzes erfüllt sind. (Banach? Da müßtest Du erst ein abgeschlossenes Intervall finden, auf dem die Funktion kontrahiert und innerhalb dieses Intervalls den Startwert wählen.)
Noch ein Tip zur ersten Funktion:
[mm]\cos{x}-\bruch{1}{x}\sin{x}=0[/mm]
Für x [mm] \not=0 [/mm] ist das äquivalent zu xcos{x}-sin{x}=0,
und dies ist für x [mm] \not=(2k+1) \pi/2 [/mm] äquivalent zu x=tanx
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 22.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Hi und danke!
> Doch wie berechne ich diesen
> > Fixpunkt?
> >
>
> Eine Fixpunktiteration geht so:
> Du nimmst Dir einen Startwert [mm]x_{0}.[/mm]
> [mm]x_{1}=F(x_{0})[/mm]
> [mm]x_{2}=F(x_{1})[/mm]
>
> Allgemein: [mm]x_{n+1}=F(x_{n})[/mm]
Gibt es keinen Weg den Fixpunkt genau zu berechnen? So würde doch auch nach 1000 Schritten sich irgendwo x Stellen hinter dem Komma noch ein Unterscheid feststellen lassen. Oder habe ich da jetzt was falsch verstanden?
MfG
Christian
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Hallo,
> Gibt es keinen Weg den Fixpunkt genau zu berechnen?
Manchmal ja und manchmal nein, würde ich sagen. Bei Deinen Gleichungen sehe ich die Lösung jedenfalls nicht auf die Schnelle.
So
> würde doch auch nach 1000 Schritten sich irgendwo x Stellen
> hinter dem Komma noch ein Unterscheid feststellen lassen.
Ja. Ich bin (leider) kein großer Numerik-Spezialist und erst recht kein -Fan, aber wenn ich das Ganze recht verstanden habe, ist es das Anliegen der Numerik, mit vertretbarem Aufwand gute Näherungen zu bekommen.
Hat doch auch etwas für sich!
Und wenn sich "nach 1000 Schritten sich irgendwo x Stellen
hinter dem Komma noch ein Unterscheid feststellen" läßt, dürfte das für die meisten Anwendungen gar nicht schlimm sein, oder man rechnet noch 100000 Werte aus.
> Oder habe ich da jetzt was falsch verstanden?
Ich glaube nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Do 23.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Danke dir für deine Hilfe! Hast mir sehr geholfen!
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