Fixpunktiteration im Komplexen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mi 04.08.2010 | | Autor: | tom20ked |
| Aufgabe | Aufgabe (Fixpunktiteration)
Gegeben sei die Funktion f(x) [mm] =\sum{f_i(x)} [/mm] , wobei x eine beliebige imaginäre Zahl ist.
Für die einzelnen Summanden gilt:
[mm] f_1(x)=x
[/mm]
[mm] f_n(x)=-k*\sum_{i=1}^{n-1}{Im(f_i(x))}+Re(f_{n-1}(x)) [/mm] + [mm] i*[k*\sum_{i=1}^{n-1}{Re(f_i(x))}+Im(f_{n-1}(x))]
[/mm]
Wobei i die imaginäre Einheit markiert und k eine beliebige Konstante ist.
a) Zeigen sie, egal wie, dass es Fixpunkte gibt. Benennen sie die Anzahl der Fixpunkte
und deren Konvergenzbereich
b) Geben sie ein rekursives Verfahren zur Bestimmung eines beliebigen Fixpunktes an.
c) Geben sie eine Fehlerabschätzung für die 5te Iteration an und bestimmen sie Anzahl
der Iteration um ein Fehler < 0.001 zu erhalten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, Community
ich könnte eine komplette Lösung gebrauchen. Die ganzen Summen und co sind mir gerade zu viel.
Wenn niemand Zeit hat, sagt mir bitte wie ich anfangen soll. Kann grad gar nix damit anfangen.
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nur ein kleiner Tipp:
es ist bestimmt nicht praktisch, das Symbol i einerseits
für die imaginäre Einheit und andererseits auch als
Summationsindex zu verwenden. Nimm für letzteren
also einen anderen Buchstaben !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Mi 04.08.2010 | | Autor: | tom20ked |
Stimmt natürlich. Die imaginäre Einheit heißt im Beispiel eigentlich j, aber ich wollte sie i nennen ohne auf die Indizes zu schauen.
Mein Fehler!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Do 05.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Das ist alles sehr merkwürdig .................
1. Bedeutet $ [mm] \sum{f_i(x)} [/mm] $ eine endliche Summe oder eine unendliche Reihe ?
2. Wenn ich richtig hingesehen habe, so gilt:
[mm] $f_n= f_{n-1}+ik*\summe_{j=1}^{n-1}f_j$
[/mm]
3. Aus 2. folgt: zu jedem j gibt es eine konstante [mm] \alpha_j [/mm] mit: [mm] $f_j(x) [/mm] = [mm] \alpha_j [/mm] *x$
4. Aus 3. folgt: f hat die Gestalt $f(x) = [mm] \alpha*x$
[/mm]
5. Ist obiges [mm] \alpha \ne [/mm] 1, so hat f nur den Fixpunkt x=0. Ist dagegen [mm] \alpha=1, [/mm] so ist jedes x Fixpunkt.
Möglicherweise habe ich etwas übersehen oder fehlinterpretiert.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Do 05.08.2010 | | Autor: | tom20ked |
| Aufgabe | Da kein Fixpunkt exisistiert, will ich für einen bestehenden wert y^* = f(x^*) zugehöriges x^* finden.
Ich werde die Frage jedoch konkretisieren in einem neuen Thema falls ich Probleme habe |
Zu 1.)
[mm] f(x)=\sum_{j=1}^{n}{f_j(x)}
[/mm]
Zu 2.)
stimmt!
Zu 3.)
stimmt vermutlich auch, stimme dir tendenziell zu.
Zu 4.)
[mm] f(x)=\sum_{j=1}^{n}{f_j(x)}=\sum_{j=1}^{n}{\alpha_j*x}=\alpha_1*x+\alpha_2*x+...+\alpha_n*x=\alpha_ges*x
[/mm]
könnte sich schon so hingehen.
Zu 5.)
einzige schlussfolgerung.
Das ursprüngliche Problem ist also gelöst!
Darauf bin ich auch durch heuristisches Prüfen der Kontraktion gekommen. jetzt bin ich mir sicher.
Für das neue siehe oben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Do 05.08.2010 | | Autor: | tom20ked |
Wollte die Diskussion eigentlich schließen. Meine Schuld.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Do 05.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da kein Fixpunkt exisistiert,
Wer hat das gesagt ???
> will ich für einen
> bestehenden wert y^* = f(x^*) zugehöriges x^* finden.
Das ist ja bei Funktionen f der Gestalt $f(x) = [mm] \alpha [/mm] x$ nicht sonderlich schwer ....
> Ich werde die Frage jedoch konkretisieren in einem neuen
> Thema falls ich Probleme habe
> Zu 1.)
> [mm]f(x)=\sum_{j=1}^{n}{f_j(x)}[/mm]
> Zu 2.)
> stimmt!
> Zu 3.)
> stimmt vermutlich auch, stimme dir tendenziell zu.
> Zu 4.)
>
> [mm]f(x)=\sum_{j=1}^{n}{f_j(x)}=\sum_{j=1}^{n}{\alpha_j*x}=\alpha_1*x+\alpha_2*x+...+\alpha_n*x=\alpha_ges*x[/mm]
> könnte sich schon so hingehen.
> Zu 5.)
> einzige schlussfolgerung.
>
> Das ursprüngliche Problem ist also gelöst!
> Darauf bin ich auch durch heuristisches Prüfen der
> Kontraktion gekommen.
Von welcher Kontraktion sprichst Du ?
FRED
> jetzt bin ich mir sicher.
> Für das neue siehe oben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 05.08.2010 | | Autor: | tom20ked |
Von keiner speziellen Kontraktion, von der Kontraktion im allgemeinen.
Der Abstand der Bildpunkte ist kleiner als der Abstand der Werte.
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