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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 So 17.01.2010 | | Autor: | phineas |
| Aufgabe | | Der Graph [mm]G_f[/mm] einer ganzrationalen Funktion 3. Grades enthält den Punkt P(0/-2). Die Normale zur Wendetangente hat die Gleichung 3y - x + 2 = 0 und schneidet [mm]G_f[/mm] im Wendepunkt W(2/?). Ermittle die Funktionsgleichung von f. |
Hallo!
Leider bekomme ich diese Aufgabenstellung für Vorbereitung und Wiederholung von einem Arbeitsblatt nicht gelöst.
Als Lösungsansatz wird folgendes vorgeschlagen:
- Gesuchte Funktionsgleichung in allgemeiner Form angeben und davon die ersten beiden Ableitungen bilden
- Die gegebenen Bedingungen in Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten übersetzen.
- Gleichungssystem lösen.
Meine Vorüberlegungen:
Funktion 3. Grades & Ableitungen:
[mm]f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d[/mm]
[mm]f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c[/mm]
[mm]f''(x) = 6ax + 2b[/mm]
f enthält P(0/-2):
[mm]f(0) = -2[/mm]
[mm]-2 = a*0^3 + b*0^2 + c*0 +d[/mm]
[mm]d = -2[/mm]
Normale:
[mm]3y - x + 2 = 0[/mm]
[mm]y = \bruch{1}{3}x - \bruch{2}{3}[/mm]
Daraus folgend die Steigung der Tangente: [mm]\bruch{-1}{\bruch{1}{3}} = -3[/mm]
Wenn die Tangentensteigung in diesem Punkt -3 ist, heisst dass in Form einer Gleichung, dass [mm]f'(2) = -3[/mm], da [mm]G_f[/mm] im Wendepunkt mit der x-Koordinate 2 geschnitten wird.
[mm]f'(2) = -3[/mm]
[mm]-3 = 3*a*2^2 + 2*b*2 + c[/mm]
[mm]-3 = 12a + 4b + c[/mm]
Wenn W(2/?) der Wendepunkt ist, muss an dieser Stelle die zweite Ableitung 0 sein, d.h.:
[mm]f''(2) = 0[/mm]
[mm]0 = 6 *a*2 + 2*b[/mm]
[mm]0 = 12a + 2b[/mm]
Jetzt ist der Punkt erreicht, an dem ich nicht weiterkomme. In Sinne der oben beschriebenen Vorgehensweise scheitere ich daran, das Gleichungssystem zu lösen.
Dies ist mein erster Post hier, ich hoffe die Hürden der Formatierung genommen zu haben und es einigermaßen verständlich gehalten zu haben.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, phineas,
> Der Graph [mm]G_f[/mm] einer ganzrationalen Funktion 3. Grades
> enthält den Punkt P(0/-2). Die Normale zur Wendetangente
> hat die Gleichung 3y - x + 2 = 0 und schneidet [mm]G_f[/mm] im
> Wendepunkt W(2/?). Ermittle die Funktionsgleichung von f.
> Leider bekomme ich diese Aufgabenstellung für Vorbereitung
> und Wiederholung von einem Arbeitsblatt nicht gelöst.
>
> Als Lösungsansatz wird folgendes vorgeschlagen:
>
> - Gesuchte Funktionsgleichung in allgemeiner Form
> angeben und davon die ersten beiden Ableitungen
> bilden
> - Die gegebenen Bedingungen in Gleichungen für die
> unbekannten Koeffizienten übersetzen.
> - Gleichungssystem lösen.
>
>
> Meine Vorüberlegungen:
>
> Funktion 3. Grades & Ableitungen:
> [mm]f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d[/mm]
>
> [mm]f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c[/mm]
> [mm]f''(x) = 6ax + 2b[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f enthält P(0/-2):
> [mm]f(0) = -2[/mm]
> [mm]-2 = a*0^3 + b*0^2 + c*0 +d[/mm]
> [mm]d = -2[/mm]
> Normale:
> [mm]3y - x + 2 = 0[/mm]
> [mm]y = \bruch{1}{3}x - \bruch{2}{3}[/mm]
>
> Daraus folgend die Steigung der Tangente:
> [mm]\bruch{-1}{\bruch{1}{3}} = -3[/mm]
> Wenn die Tangentensteigung in diesem Punkt -3 ist, heisst
> dass in Form einer Gleichung, dass [mm]f'(2) = -3[/mm], da [mm]G_f[/mm] im
> Wendepunkt mit der x-Koordinate 2 geschnitten wird.
>
> [mm]f'(2) = -3[/mm]
> [mm]-3 = 3*a*2^2 + 2*b*2 + c[/mm]
> [mm]-3 = 12a + 4b + c[/mm]
> Wenn W(2/?) der Wendepunkt ist, muss an dieser Stelle die
> zweite Ableitung 0 sein, d.h.:
>
> [mm]f''(2) = 0[/mm]
> [mm]0 = 6 *a*2 + 2*b[/mm]
> [mm]0 = 12a + 2b[/mm]
> Jetzt ist der Punkt erreicht, an dem ich nicht weiterkomme.
> In Sinne der oben beschriebenen Vorgehensweise scheitere
> ich daran, das Gleichungssystem zu lösen.
Noch fehlt Dir ja auch eine Gleichung, denn:
Du hast 4 Unbekannte (a, b, c und d) aber bisher nur 3 Gleichungen.
In so einem Fall muss man den Text nochmals sorgfältig durchlesen
und die "fehlende Information" suchen!
Hier ist sie:
"Die Normale zur Wendetangente (...) schneidet [mm]G_f[/mm] im Wendepunkt W(2/?)."
Demnach liegt der Wendepunkt auf dieser Geraden drauf
und Du kannst seine y-Koordinate aus der Geradengleichung ermitteln.
Also hast Du einen 2. Punkt, dessen Koordinaten Du analog zum Punkt P
für eine weitere Gleichung verwenden kannst!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 17.01.2010 | | Autor: | phineas |
Damit komm ich schonmal weiter als vorher.
Schaue ich mir das Ergebnis im Graphenplotter an (namentlich Geogebra), dann liegt der Wendepunkt aber außerhalb des Graphen...
Wie ich darauf gekommen bin:
Normale:
[mm]y = \bruch{1}{3}x - \bruch{2}{3}[/mm]
Wendepunkt W(2/?) liegt darauf, y-Koordinate:
[mm]y = \bruch{1}{3}*2 - \bruch{2}{3}[/mm]
Der Wendepunkt hat also die Koordinaten (2/0).
Da der WP wiederum auf [mm]G_f[/mm] liegt, bekommt man eine neue Gleichung:
[mm]f(2) = 0[/mm]
[mm]0 = 8*a + 4*b + 2*c + d[/mm]
Durch vorherige Berechnungen weiss man, dass d = -2 ist.
[mm]0 = 8*a + 4*b + 2*c - 2[/mm]
Nach -c auflösen:
[mm]-c = 4*a +2*b -1[/mm]
Zwei weitere Schritte ausgehend von vorherigen Berechnungen:
1. Man kann eine der oberen Gleichungen ebenfalls nach -c auflösen:
[mm]-3 = 12*a + 4*b + c[/mm]
[mm]-c = 12*a + 4*b + 3[/mm]
2. Man kann eine andere Gleichung nach b auflösen:
[mm]0 = 12*a + 2*b[/mm]
[mm]b = -6*a[/mm]
Diese Puzzlestücke kann man dann zusammenfügen.
Die beiden Gleichungen über -c gleichsetzen und b durch -6a ersetzen.
[mm]4*a + 2*b -1 = 12*a + 4*b + 3[/mm]
[mm]4*a + 2*b -1 = 12*a + 4*(-6*a) + 3[/mm]
[mm]a = -\bruch{1}{5}[/mm]
Wenn man weiss, dass [mm]a = -\bruch{1}{5}[/mm] und [mm]b = -6*a = -\bruch{6}{5}[/mm], kann man die auch oben schon benutzte Gleichung [mm]-c = 4*a +2*b -1[/mm] zum weiteren auflösen verwenden:
[mm]-c = 4*a + 2*b - 1[/mm]
[mm]-c = -\bruch{4}{5} + 2*(-\bruch{6}{5}) - 1[/mm]
[mm]c = 4.2[/mm]
Dann nochmal das gleiche Spiel unter Verwendung von [mm]c = 4.2[/mm] und [mm]a = -\bruch{1}{5}[/mm]:
[mm]-c = 4*a + 2*b - 1[/mm]
[mm]-4.2 = 4*(-\bruch{1}{5}) + 2*b -1[/mm]
[mm]b = -3[/mm]
Das heisst, die Funktionsgleichung würde dann [mm]f(x) = -\bruch{1}{5}*x^3 - 3*x^2 + 4.2*x - 2[/mm] lauten.
Klingt plausibel, aber der Wendepunkt liegt außerhalb des Graphens. Auch die Tangenten stimmen dann nicht.
Wo habe ich einen Denk- oder Rechenfehler?
Danke für die Antwort
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Hi, phineas,
ehrlich gesagt: Bei Deiner Vorgehensweise zum Lösen des Gleichungssystems
MUSS man sich ja verrechnen!
Merke: Das Additions-/Subtraktionsverfahren ist dem Einsetzverfahren gegenüber
fast immer vorzuziehen; ggf. würd' ich sogar das Gauß-Verfahren benutzen!
Hier jedenfalls mein Ergebnis:
y= [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 9x - 2.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 17.01.2010 | | Autor: | phineas |
Hi Zwerglein,
könntest du bitte deinen Lösungsweg posten?
Ich komm einfach nicht weiter. Ich schätze, ich muss die Möglichkeiten zum Lösen von Gleichungssystemen nochmal wiederholen.
Vom Gauß-Verfahren habe ich allerdings während meiner bisherigen Schullaufbahn aber noch nichts gehört.
mfg
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
der 
Gauß-Algorithmus