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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt der Menge
[mm] \{(x,y) \in \IR^2 : - \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{1}{2} |
Hallo zusammen. Ich begreife nicht ganz die fläche die ich ausrechnen muss.
mir ist klar von x= - [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] bis x= [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] integrieren muss
Aber die Kurve ist mir nicht klar.
Die Cos-Kurve ist hier ein "Berg" sozusagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie den Flächeninhalt der Menge
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : - \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}
>
> Hallo zusammen. Ich begreife nicht ganz die fläche die ich
> ausrechnen muss.
> mir ist klar von x= - [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] bis x= [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
> integrieren muss
ja, das gilt für die Integration nach x, da es sich aber um eine Fläche handelt muss hier ein Doppelintegral ausgeführt werden. Wie lauten also die Grenzen für die Integration nach y?
> Aber die Kurve ist mir nicht klar.
> Die Cos-Kurve ist hier ein "Berg" sozusagen.
Welche Kurve meinst Du und was genau ist Dir nicht klar?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
> ja, das gilt für die Integration nach x, da es sich aber um eine Fläche handelt muss hier ein Doppelintegral ausgeführt werden.
hei. Würde es so nicht stimmen:
2*( [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{3}}{cosx dx}) [/mm] - [mm] (\frac{2\pi}{3} [/mm] * 1/2)
Das rechteck ziehe ich wieder ab.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> > ja, das gilt für die Integration nach x, da es sich aber
> um eine Fläche handelt muss hier ein Doppelintegral
> ausgeführt werden.
>
> hei. Würde es so nicht stimmen:
>
> 2*( [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{3}}{cosx dx})[/mm] -
> [mm](\frac{2\pi}{3}[/mm] * 1/2)
> Das rechteck ziehe ich wieder ab.
Nein, es muss heißen:
[mm] $A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\frac{1}{2}}^{\cos x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$
[/mm]
Wenn Du das auswertest kommt was anders raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Das kann es aber nicht wirklich sein. Ich hab nämlich noch nie Doppelintegrale gemacht.
Interpretiere ich die Fläche falsch?
es ist doch von x = - [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] bis x = [mm] \frac {\pi}{2}
[/mm]
Dannach zeichne ich die Cos- Kurve und ziehe bei y = 1/2 einen waagrechte Gerade parallel zur x-achse.
Nun ist die Fläche der obere Teil zwischen Cos und der waagrechten Geraden.
Wenn ich nun 2* die Fläche zwischen 0 und den wert cos [mm] \alpha [/mm] = 1/2 berechne und davon dass untere Rechteck abziehe komme ich zur fläche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Das kann es aber nicht wirklich sein. Ich hab nämlich noch
> nie Doppelintegrale gemacht.
achso, tut mir leid. Ich habe nicht drauf geachtet, dass Du das ins Oberstufenforum gestellt hast. Klar hast Du dann noch keine Doppelintegrale berechnet...
>
> Interpretiere ich die Fläche falsch?
> es ist doch von x = - [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] bis x = [mm]\frac {\pi}{2}[/mm]
>
> Dannach zeichne ich die Cos- Kurve und ziehe bei y = 1/2
> einen waagrechte Gerade parallel zur x-achse.
> Nun ist die Fläche der obere Teil zwischen Cos und der
> waagrechten Geraden.
Ja genau.
>
> Wenn ich nun 2* die Fläche zwischen 0 und den wert cos
> [mm]\alpha[/mm] = 1/2 berechne und davon dass untere Rechteck
> abziehe komme ich zur fläche.
Das kann ich nicht nachvollziehen und ich bezweifle auch dass das stimmt.
Die Fläche zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) berechnet sich doch so: [mm] $A=\int(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ [/mm]
oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Ich versuchs nochmal auf andere Art.
[mm] \integral_{- \frac{\pi}{2}
}^{\frac{\pi}{2}
}{cos(x) dx} [/mm]
dann hab ich die Fläche in den Grenzen aber mit dem unteren Rechteckt. Also muss ich das Rechteck abziehen.
1/2 = cos x
1/2 = cos ( [mm] \frac{\pi}{3})
[/mm]
Die Höhe des Rechtecks ist 1/2 und die Länge des Rechtecks ist [mm] \frac{6 \pi}{6} [/mm] - 2 * ( [mm] \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}) [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{3}
[/mm]
[mm] \integral_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx} [/mm] - (1/2 * [mm] \frac{2\pi}{3})
[/mm]
da es symmetrisch ist.
2* [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx} [/mm] - (1/2 * [mm] \frac{2\pi}{3})
[/mm]
Und was sagst du?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Ich versuchs nochmal auf andere Art.
>
>
> [mm]\integral_{- \frac{\pi}{2}
}^{\frac{\pi}{2}
}{cos(x) dx}[/mm]
> dann hab ich die Fläche in den Grenzen aber mit dem
> unteren Rechteckt. Also muss ich das Rechteck abziehen.
da stimme ich zu.
> 1/2 = cos x
> 1/2 = cos ( [mm]\frac{\pi}{3})[/mm]
> Die Höhe des Rechtecks ist 1/2 und die Länge des
da stimme ich auch noch zu.
> Rechtecks ist [mm]\frac{6 \pi}{6}[/mm] - 2 * ( [mm]\frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3})[/mm]
> = [mm]\frac{2 \pi}{3}[/mm]
ab hier stimme ich nicht mehr zu. Vom Ursprung zum rechten Rand des Rechtecks sind es [mm] $\pi/2$ [/mm] genauso zum linken, also in der Summe genau [mm] $\pi/2+\pi/2=\pi$, [/mm] oder nicht?
> [mm]\integral_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx}[/mm]
> - (1/2 * [mm]\frac{2\pi}{3})[/mm]
> da es symmetrisch ist.
> 2* [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx}[/mm] - (1/2 *
> [mm]\frac{2\pi}{3})[/mm]
>
> Und was sagst du?
> LG
Mit dem Symmetrieargument bin ich einverstanden, aber mit der Länge des Rechtecks nicht.
Warum auch so kompliziert, in diese Formel muss man nur stur einsetzen und die Sache ist gegessen: $ [mm] A=\int(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Ja stimmt
2* $ [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx} [/mm] $ - (1/2 * $ [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] $ ===>> falsch
aber so stimmt es leider nicht. Denn dann haben wir zuviel abgezogen.
Tutr mir leid war mein fehler!!
Deshalb hab ich es oben auf eine andere art gemacht
2* [mm] \integral_{0}^{\pi/3}{cos(x) dx}
[/mm]
weil wenn ich diese grenzen setzte, dann integriere ich nur bis zum Schnittpunkt vom Cosinus und der waagrechten Geraden.
Nun ist hier genau, mein zuvor berechnetes Rechteck abzuziehen. dass von - [mm] \pi/3 [/mm] zu [mm] \pi/3 [/mm] geht und die länge davon ist (2 [mm] \pi) [/mm] /3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Ja stimmt
> 2* [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(x) dx}[/mm] - (1/2 *
> [mm]\frac{\pi}{2})[/mm] ===>> falsch
> aber so stimmt es leider nicht. Denn dann haben wir zuviel
> abgezogen.
> Tutr mir leid war mein fehler!!
>
>
>
> Deshalb hab ich es oben auf eine andere art gemacht
> 2* [mm]\integral_{0}^{\pi/3}{cos(x) dx}[/mm]
> weil wenn ich diese
> grenzen setzte, dann integriere ich nur bis zum
> Schnittpunkt vom Cosinus und der waagrechten Geraden.
> Nun ist hier genau, mein zuvor berechnetes Rechteck
> abzuziehen. dass von - [mm]\pi/3[/mm] zu [mm]\pi/3[/mm] geht und die länge
> davon ist (2 [mm]\pi)[/mm] /3
So langsam verstehe ich, was Du meinst. Dann fehlt aber noch der Teil der Fläche auf dem Intervall [mm] $\pi/3\leq [/mm] x [mm] \leq \pi/2$ [/mm] (auf beiden Seiten natürlich)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
hei nochmal
> So langsam verstehe ich, was Du meinst. Dann fehlt aber noch der Teil der Fläche auf dem Intervall $ [mm] \pi/3\leq [/mm] x [mm] \leq \pi/2 [/mm] $ (auf beiden Seiten natürlich)
Warum?, es gibt keine fläche die y= 1/2 und cos-Fläche einschließt im Intervall $ [mm] \pi/3\leq [/mm] x [mm] \leq \pi/2 [/mm] $.
1/2 < y [mm] \le [/mm] cosx
Da ist nur die Fläche oberhalbb von y= 1/2 eingeschlossen mit cos x. Und die ist begrent durch die Schnittpunkte von cosx und y=1/2.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 10.12.2011 | | Autor: | notinX |
> hei nochmal
>
> > So langsam verstehe ich, was Du meinst. Dann fehlt aber
> noch der Teil der Fläche auf dem Intervall [mm]\pi/3\leq x \leq \pi/2[/mm]
> (auf beiden Seiten natürlich)
>
> Warum?, es gibt keine fläche die y= 1/2 und cos-Fläche
> einschließt im Intervall [mm]\pi/3\leq x \leq \pi/2 [/mm].
> 1/2 < y
> [mm]\le[/mm] cosx
> Da ist nur die Fläche oberhalbb von y= 1/2
> eingeschlossen mit cos x. Und die ist begrent durch die
> Schnittpunkte von cosx und y=1/2.
Ja, stimmt. Du hast Recht. Dann stimmt Deine Rechnung.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lu- |
> Ja, stimmt. Du hast Recht. Dann stimmt Deine Rechnung.
Gut.
Liebe Grüße
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