Fläche Kardioden u. Zykloiden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 27.01.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Fläche der Kardioiden [mm]r=1+cos\varphi[/mm] ; [mm]\varphi\in[0; 2\pi][/mm] und die Fläche unter der Zykloiden [mm]x(t)=R(t-sin t)[/mm] ; [mm]y(t)=R(1-cos t)[/mm] im Intervall [mm]t\in[0; 2\pi][/mm] |
Hallo zusammen!
Wiedermal komme ich nicht zurecht. Ich weiß nicht wie man von dieses Funktionen die Stammfunktion bildet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mi 27.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Fläche der Kardioiden [mm]r=1+cos\varphi[/mm] ;
> [mm]\varphi\in[0; 2\pi][/mm] und die Fläche unter der Zykloiden
> [mm]x(t)=R(t-sin t)[/mm] ; [mm]y(t)=R(1-cos t)[/mm] im Intervall [mm]t\in[0; 2\pi][/mm]
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> Hallo zusammen!
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> Wiedermal komme ich nicht zurecht. Ich weiß nicht wie man
> von dieses Funktionen die Stammfunktion bildet.
Hallo,
zur Kardiode:
zerlege die Fläche durch unendlich viele von Koordinatenursprung ausgehende Strahlen in lauter kleine "Tortenstücke"
Jedes dieser unendlich kleinen Flächenstücke dA kann als Kreissektor mit dem Radius [mm] 1+cos\phi [/mm] und dem unendlich kleinen Winkel [mm] d\phi [/mm] aufgefasst werden. Der Inhalt eines solchen Sektors ist [mm] \bruch{r^2*d\phi}{2}, [/mm] also gilt [mm] dA=\bruch{(1+co\phi)^2*d\phi}{2}
[/mm]
Daraus folgt [mm] A=\integral_0^{2\pi}\bruch{(1+co\phi)^2*d\phi}{2}
[/mm]
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