Fläche Parallelogramm < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 09.10.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Der Aufgabentext ist aus einem Ital. Text übersetzt, die Aufgabe handelt rund um Mechanik und beginnt so:
Zu berechnen ist die Fläche des Parallelogramms (0,A,B,C)
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Hallo alle zusammen!
Nun vorweg, dadurch dass es sich um eine Mechanik Aufgabe handelt und es noch Folge-Aufgaben gibt, welche auf dem Integral basieren, muss das Integral durch ein einziges Integral gelöst werden (Folgeaufgabe wäre die Berechnung des Trägheitsmomentes usw usw).
Das heißt konkret ich muss die Fläche parametrisieren und darauf integrieren.
Ich habe hier eine Lösung, welche mir folgendes angibt:
[mm] \phi [/mm] (u,v) = u(A-O) +u(C-O) (u,v) [mm] \in [/mm] [0,1]²
[mm] \phi [/mm] (u,v) = [mm] uLe_1+v(Le_1+2Le_2)=L(u+v)e_1+2Lve_2
[/mm]
Wobei [mm] e_1 [/mm] , [mm] e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] die Normalvektoren der Achsen x,y und z sind.
Nun das Integral:
[mm] \integral_{P}^{}{ \phi (u,v) e_1*\sigma * | \bruch{\partial \phi}{\partial u} \times \bruch{\partial \phi}{\partial v} | du dv }
[/mm]
mit [mm] 0\le u,v\le1 [/mm] und [mm] \sigma [/mm] als eine Konstante hinzunehmen ist, welche die Dichte beschreiben soll, jedoch für meine Frage keine größere Bedeutung hätte, aber ich gebe sie trotzdem an: [mm] \sigma= \bruch{m}{2L²} [/mm] wobei m ein spezifischer Wert ist.
Meine Frage:
Ich verstehe das Integral nur ansatzweise, sprich ich verstehe nicht, wieso ich mit einem Vektor-Produkt arbeiten muss.
Meine bis jetzige Vorgehensweise war immer eine Parametrisierung auf welcher ich integreieren konnte. In so einem Fall könnte ich mir nicht einmal das herleiten.
Also kann mir bitte jemand den Grund erklären wieso hier so vorgegangen wird und was es damit auf sich hat, und wenn einem gerade noch ein zweiter leichterer Lösungsweg einfällt, auch nur ansatzweise, wäre ich sehr erfreut.
Dankesehr
lg
Zuggel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Der Flächeninhalt des Parallelogramms in der Figur ist ganz
leicht elementar, also sicher ohne Integral zu bestimmen:
[mm] F_{OABC} [/mm] = Grundlinie x Höhe = L*2L = [mm] 2L^2
[/mm]
Aber das war doch wohl nicht die eigentliche Aufgabe ?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Do 09.10.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Der Flächeninhalt des Parallelogramms in der Figur ist ganz
> leicht elementar, also sicher ohne Integral zu bestimmen:
>
> [mm]F_{OABC}[/mm] = Grundlinie x Höhe = L*2L = [mm]2L^2[/mm]
>
> Aber das war doch wohl nicht die eigentliche Aufgabe ?
>
> Gruß
>
>
Wie ich bereits geschrieben hatte, für die Folge Aufgaben ist ein Integral zu erstellen, die Fläche einfach so ausrechnen wäre kein Problem ;)
lg
Danke
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> Wie ich bereits geschrieben hatte, für die Folge Aufgaben
> ist ein Integral zu erstellen, die Fläche einfach so
> ausrechnen wäre kein Problem ;)
Dann gib doch mal wenigstens eine dieser Folgeaufgaben
an !
übrigens glaube ich zu verstehen, was deine Konstante M
bedeuten soll: eine Masse, die gleichmässig über die
Parallelogrammfläche [mm] 2L^2 [/mm] verteilt ist. [mm] \bruch{m}{2L^2} [/mm] ist dann
die Flächendichte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 09.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Der Aufgabentext ist aus einem Ital. Text übersetzt, die
> Aufgabe handelt rund um Mechanik und beginnt so:
>
> Zu berechnen ist die Fläche des Parallelogramms (0,A,B,C)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Nun vorweg, dadurch dass es sich um eine Mechanik Aufgabe
> handelt und es noch Folge-Aufgaben gibt, welche auf dem
> Integral basieren, muss das Integral durch ein einziges
> Integral gelöst werden (Folgeaufgabe wäre die Berechnung
> des Trägheitsmomentes usw usw).
> Das heißt konkret ich muss die Fläche parametrisieren und
> darauf integrieren.
>
> Ich habe hier eine Lösung, welche mir folgendes angibt:
>
> [mm]\phi[/mm] (u,v) = u(A-O) +u(C-O) (u,v) [mm]\in[/mm] [0,1]²
> [mm]\phi[/mm] (u,v) = [mm]uLe_1+v(Le_1+2Le_2)=L(u+v)e_1+2Lve_2[/mm]
>
> Wobei [mm]e_1[/mm] , [mm]e_2[/mm] und [mm]e_3[/mm] die Normalvektoren der Achsen x,y
> und z sind.
>
> Nun das Integral:
>
> [mm]\integral_{P}^{}{ \phi (u,v) e_1*\sigma * | \bruch{\partial \phi}{\partial u} \times \bruch{\partial \phi}{\partial v} | du dv }[/mm]
>
> mit [mm]0\le u,v\le1[/mm] und [mm]\sigma[/mm] als eine Konstante hinzunehmen
> ist, welche die Dichte beschreiben soll, jedoch für meine
> Frage keine größere Bedeutung hätte, aber ich gebe sie
> trotzdem an: [mm]\sigma= \bruch{m}{2L²}[/mm] wobei m ein
> spezifischer Wert ist.
>
> Meine Frage:
> Ich verstehe das Integral nur ansatzweise, sprich ich
> verstehe nicht, wieso ich mit einem Vektor-Produkt arbeiten
> muss.
Ich verstehe nicht, warum man Integrale verwendet.
Zum Vektorprodukt: Der Flächeninhal des Parallelogramms entspricht dem Betrag des Vekorprodukts [mm] \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}.
[/mm]
Gruß Abakus
> Meine bis jetzige Vorgehensweise war immer eine
> Parametrisierung auf welcher ich integreieren konnte. In so
> einem Fall könnte ich mir nicht einmal das herleiten.
> Also kann mir bitte jemand den Grund erklären wieso hier
> so vorgegangen wird und was es damit auf sich hat, und wenn
> einem gerade noch ein zweiter leichterer Lösungsweg
> einfällt, auch nur ansatzweise, wäre ich sehr erfreut.
>
> Dankesehr
> lg
> Zuggel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 09.10.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Der Aufgabentext ist aus einem Ital. Text übersetzt, die
> > Aufgabe handelt rund um Mechanik und beginnt so:
> >
> > Zu berechnen ist die Fläche des Parallelogramms (0,A,B,C)
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Nun vorweg, dadurch dass es sich um eine Mechanik Aufgabe
> > handelt und es noch Folge-Aufgaben gibt, welche auf dem
> > Integral basieren, muss das Integral durch ein einziges
> > Integral gelöst werden (Folgeaufgabe wäre die Berechnung
> > des Trägheitsmomentes usw usw).
> > Das heißt konkret ich muss die Fläche parametrisieren
> und
> > darauf integrieren.
> >
> > Ich habe hier eine Lösung, welche mir folgendes angibt:
> >
> > [mm]\phi[/mm] (u,v) = u(A-O) +u(C-O) (u,v) [mm]\in[/mm] [0,1]²
> > [mm]\phi[/mm] (u,v) = [mm]uLe_1+v(Le_1+2Le_2)=L(u+v)e_1+2Lve_2[/mm]
> >
> > Wobei [mm]e_1[/mm] , [mm]e_2[/mm] und [mm]e_3[/mm] die Normalvektoren der Achsen x,y
> > und z sind.
> >
> > Nun das Integral:
> >
> > [mm]\integral_{P}^{}{ \phi (u,v) e_1*\sigma * | \bruch{\partial \phi}{\partial u} \times \bruch{\partial \phi}{\partial v} | du dv }[/mm]
>
> >
> > mit [mm]0\le u,v\le1[/mm] und [mm]\sigma[/mm] als eine Konstante hinzunehmen
> > ist, welche die Dichte beschreiben soll, jedoch für meine
> > Frage keine größere Bedeutung hätte, aber ich gebe sie
> > trotzdem an: [mm]\sigma= \bruch{m}{2L²}[/mm] wobei m ein
> > spezifischer Wert ist.
> >
> > Meine Frage:
> > Ich verstehe das Integral nur ansatzweise, sprich ich
> > verstehe nicht, wieso ich mit einem Vektor-Produkt arbeiten
> > muss.
>
> Ich verstehe nicht, warum man Integrale verwendet.
> Zum Vektorprodukt: Der Flächeninhal des Parallelogramms
> entspricht dem Betrag des Vekorprodukts
> [mm]\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}.[/mm]
> Gruß Abakus
>
>
>
Ganz einfach, weil sich der Massenmittelpunkt aus:
1/m * [mm] \integral_{a}^{b}{x* \sigma dx dy}
[/mm]
1/m * [mm] \integral_{a}^{b}{y* \sigma dx dy}
[/mm]
und die Trägheitsmomente:
[mm] \integral_{a}^{b}{x²* \sigma dx dy}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{y²* \sigma dx dy}
[/mm]
Und deshalb brauche ich dieses Integral... Ich weiß, dass auch das Vektorprodukt mir die Fläche ergibt, aber ich brauche wie bereits gesagt, das Integral.
Meine Frage steht nach wie vor!
Dankesehr
> > Meine bis jetzige Vorgehensweise war immer eine
> > Parametrisierung auf welcher ich integreieren konnte. In so
> > einem Fall könnte ich mir nicht einmal das herleiten.
> > Also kann mir bitte jemand den Grund erklären wieso
> hier
> > so vorgegangen wird und was es damit auf sich hat, und wenn
> > einem gerade noch ein zweiter leichterer Lösungsweg
> > einfällt, auch nur ansatzweise, wäre ich sehr erfreut.
> >
> > Dankesehr
> > lg
> > Zuggel
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Nun gut, für die Integration über die Parallelogrammfläche
brauchst du keine speziellen Parameter. x und y genügen.
Die Integration geht nach dem Muster:
[mm] \integral_{y=0}^{2L}\left(\ \integral_{x=y/2}^{y/2+L}Integrand(x,y)*dx \right)*dy [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Zuggel |
Gut das war jetzt so einfach, auf das wäre ich nie gekommen *grins*
Dankeschön :)
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