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| Aufgabe | Geg. [mm] f(x)=(x^2-2)e^-^x [/mm] und die Tangente [mm] t_2 [/mm] im Punkt (0;-2) mit der Gleichung y=2x-2
Die Tangente [mm] t_2, [/mm] die x-Achse und der Graph der Funktion f(x) begrenzen im 4. Quadranten eine Fläche vollständig.
Ermitteln Sie deren Inhalt. |
Hallo Zusammen!
Die Nullstellen von f(x) sind [mm] N_1 (\wurzel{2};0) [/mm] und [mm] N_2 (-\wurzel{2};0)
[/mm]
Nullstelle Tangente [mm] N_t [/mm] (1;0)
Tangentenpunkt [mm] (t_2 [/mm] und f(x)) = (0;2)
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}} f^x\, [/mm] dx = [mm] \left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} = (\bruch{1}{3}
x^3-2x)e^-^x \right| [/mm] = [mm] \approx [/mm] 1,52556 F.E.
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} t^x\, [/mm] dx = [mm] \left| \integral_{0}^{1} = (x^2-2x) \right| [/mm] = 1 F.E.
Habe erst die Fläche von f(x) von 0 bis [mm] \wurzel{2} [/mm] berechnet und dann die der Tangente [mm] t_2 [/mm] von 0 bis 1. Nun rechne ich noch [mm] A_1 -A_2 [/mm] und erhalte meine Lösung [mm] \approx [/mm] 0,52556 F.E. Stimmt das? Is irgendwie so wenig....
Ich hoffe, dass ich richtig integriert habe (besonders die e-Funktion, bin mir nicht mehr sicher, ob da eine Konstante C dazu muss??)
Danke schonmal + LG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 20.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja, es ist wenig! Aber um ehrlich zu sein ist es noch viel weniger!
Kannst dir den Sachverhalt ja mal aufzeichnen, dann sieht su's auch.
Alledings hast du bei [mm] A_1 [/mm] falsch integriert! Du könntest es da mal mit partieller Integration versuchen.
[mm] A_2 [/mm] hättest du auch mit der Flächeninhaltsformel eines rechtwinkligen Dreiecks machen können, das nur so am Rande :) aber 1FE für das Dreieck ist richtig.
Rauskommen für [mm] A_1 [/mm] sollte dann ca. 1,174FE.
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Hallo Teufel!
Danke Dir.
Hab nur ein Problem - ich habe keine Ahnung wie das genau geht mit der partiellen Integration. Bin mein Fachabiturbuch vom Telekolleg durchgegangen, da war auf Seite 68 zu lesen "Dieses Verfahren gehört nicht zum Lehrstoff".....
Könntest Du mir anhand meines Beispiels bitte kurz erläutern wies funktioniert. Würde mich sehr freuen.
Danke + LG Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 20.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm, ach so! Ich mach's mal an einer einfacheren Aufgabe, weil mir das sonst ehrlich gesagt zu viel Schreibarbeit wäre ;) aber wenn das Prinzip klar ist, kannst du das auch auf deine Aufgabe anwenden.
Die partielle Integration basiert auf der Produktregel.
(uv)'=u'v+uv'
Beide Seiten integriert:
[mm] \integral_{}^{}{(uv)' dx}=\integral_{}^{}{(u'v+uv') dx}
[/mm]
[mm] uv=\integral_{}^{}{u'v dx}+\integral_{}^{}{uv' dx}
[/mm]
Und damit kommt man zur endgültigen Formel:
[mm] \integral_{}^{}{uv' dx}=uv-\integral_{}^{}{u'v dx}
[/mm]
Und jetzt zu einem Beispiel:
[mm] \integral_{}^{}{xe^x dx} [/mm] soll berechnet werden.
Du hast jetzt also ein Produkt von 2 Funktionen, was man fast immer mit partieller Integration lösen kann. Du kannst dir jetzt aussuchen, was u und was v' ist! Und wie du in der oben hergeleiteten Formel siehst, brauchst du dann noch u' und v. Du musst also einen Faktor integrieren und den anderen Faktor ableiten. Und das sollte man so machen, dass der entstehende Term einfacher wird, als der Ausgangsterm.
Wenn man mal überlegt: Wenn du sagst x=u' und [mm] e^x=v, [/mm] dann erhälst du [mm] u=\bruch{1}{2}x² [/mm] und [mm] v'=e^x.
[/mm]
Damit hättest du:
[mm] \integral_{}^{}{xe^x dx}=\bruch{1}{2}x²*e^x-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}x²*e^x dx}
[/mm]
Hm... das ist jetzt aber komplizierter als davor geworden! Also solltest du die Bezeichnungen einfach mal umdrehen.
Jetzt "der richtige Weg":
[mm] \integral_{}^{}{xe^x dx}
[/mm]
u=x
[mm] v'=e^x
[/mm]
u'=1
[mm] v=e^x
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{xe^x dx}=xe^x-\integral_{}^{}{1*e^x dx}
[/mm]
[mm] =xe^x-\integral_{}^{}{e^x dx}
[/mm]
[mm] =xe^x-e^x
[/mm]
[mm] =e^x(x-1) [/mm] (+C eigentlich noch)
So kann man die partielle Integration also anwenden. Und manchmal musst du das auch mehrmals tun, wie z.B. bei deiner Funktion. Aus deinem x² wird zuerst etwas mit x, und danach wird das x zu einer Konstante. Kannst es ja mal versuchen!
Ein anderer Weg wäre, ohne die partielle Integration, über Koeffizientenvergleich zu gehen.
Hat die Funktion z.B. so eine Form: [mm] f(x)=e^x(x²-4x+1), [/mm] so hat ihre Ableitung das auch. Kannst diese Beispielfunktion mal ableiten, dann siehst dud as auch. Das gleiche gilt auch, wenn da [mm] e^{-x} [/mm] statt [mm] e^x [/mm] steht, wie in deiner Funktion.
Wenn die Ableitungen also immer die selbe Form hat, so hat dann die Stammfunktion auch.
Willst du also [mm] f(x)=(x²-2)e^{-x} [/mm] integrieren, so kannst du davon ausgehen, dass eine Stammfunktion ca. so hier aussieht: [mm] F(x)=(ax²+bx+c)e^{-x}.
[/mm]
Leite dann mal F(x) ab und bringe die entstandene Funktion in die gleiche Form wie f(x). Da ja F'(x)=f(x) ist, kannst du nun also leicht die Koeffizienten a, b und c bestimmen.
Ich mach's mal an dem Beispiel:
[mm] f(x)=e^x(x²-4x+1)
[/mm]
[mm] F(x)=e^x(ax²+bx+c)
[/mm]
[mm] F'(x)=e^x(ax²+bx+c)+e^x(2ax+b)=e^x(ax^2+bx+c+2ax+b)=e^x(ax^2+(2a+b)x+c+b)
[/mm]
Und wenn du dir nun [mm] f(x)=e^x(x²-4x+1) [/mm] anguckst: a muss 1 sein. (2a+b) muss -4 sein. Da a=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2+b=-4 [mm] \Rightarrow [/mm] b=-6.
c+b=1 [mm] \Rightarrow [/mm] c-6=1 [mm] \Rightarrow [/mm] c=7.
[mm] \Rightarrow F(x)=e^x(x²-6x+7).
[/mm]
Partielle Integration ist denke ich mal öfter anwendbar, aber das mit dem Koeffizientenvergleich könnte sich vielleicht auch lohnen, wenn du eine Stammfunktion von [mm] f(x)=x^10e^x [/mm] finden solltest und nicht 10mal partiell integrieren wolltest ;)
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") Vielen, vielen herzlichen Dank für die wirklich sehr gute und anschauliche Erklärung der partiellen Integration. Werde das gleich mal an meiner Aufgabe anwenden.
Soweit hab ich das jetzt verstanden. Nur bei einer Deiner Aussagen muss ich nochmal nachfragen: "So kann man die partielle Integration also anwenden. Und manchmal musst du das auch mehrmals tun, wie z.B. bei deiner Funktion. Aus deinem x² wird zuerst etwas mit x, und danach wird das x zu einer Konstante. Kannst es ja mal versuchen!"
Das mit dem mehrmals tun - wie ist das gemeint? Ist doch wie beim Differenzieren das nachdifferenzieren von Funktionen (Bspw. bei der Ableitung von [mm] e^2^x [/mm] nochmal 2 hintenanhängen). Also nur umgedreht?
Also Danke nochmal
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Hallo,
eigentlich hast du deine Frage selbst beantwortet, du beginnst mit
[mm] u=x^{2}-2 [/mm] und [mm] v'=e^{-x}
[/mm]
somit
u'=2x und v= [mm] -e^{-x}
[/mm]
partielle Integration die 1.
dann
u=x und [mm] v'=e^{-x}
[/mm]
somit
u'=1 und v= [mm] -e^{-x}
[/mm]
und somit hast du deine Konstante 1, also 2-mal partielle Integration
Steffi
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