Fläche berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven f und g über dem Intervall I
a ) f(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] , g(x) = [mm] x^{2} [/mm] +x
I = [ -2 ; 1] |
Hallo,
ich habe mir erstmal eine Skizze gemacht :
[Externes Bild http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=0ab04f-1331565560.jpg&size=original]
So , wenn wir jetzt die linke Seite betrachten , kann ich ja mit der Funktion g erstmal die rot markierte Fläche im Intervall [ -2 ; -1 ] ausrechnen , oder ?
Also
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{x^{2} +x dx}
[/mm]
Dann schneiden sich g und f im x-Punkt -1 und bei 0.
Die Schnittpunkte kann ich dann als Integrationsgrenze nehmen , also so hier :
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{(x^{3}+x^{2}) - (x^{2}+x) dx}
[/mm]
Was mache ich aber auf der rechten Seite ?
Soll ich kann ja erstmal die eingeschlossene Fläche berechnen mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen und dann nochmal die Fläche , die von g eingeschlossen wird , und dann alles addieren , ist das richtig ?
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Hallo, du hast die Aufgabe noch nicht verstanden, ich habe dir mal die drei zu berechnenden Flächen hellblau markiert,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo, du hast die Aufgabe noch nicht verstanden, ich habe
> dir mal die drei zu berechnenden Flächen hellblau
> markiert,
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Steffi
Vielen Dank für die Skizze.
Also , kann ich dann so hier beginnen ? :
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{f(x)- g(x) dx}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{g(x) - f(x) dx}
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) - g(x) dx}
[/mm]
A = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] + [mm] A_3 [/mm] ?
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Hallo
[mm] A_1=\integral_{-2}^{-1}{g(x)- f(x) dx}
[/mm]
[mm] A_2=\integral_{-1}^{0}{f(x) - g(x) dx} [/mm]
[mm] A_3=\integral_{0}^{1}{g(x) - f(x) dx}
[/mm]
A [mm] =A_1+A_2+A_3 [/mm]
du hast obere- und untere Funktion verwechselt, du kannst natürlich auch Betragsstriche setzen
Steffi
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Aber die Integration an sich ist richtig , oder ?
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Hallo, ja, wenn dann auch Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen klappt, Steffi
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Okay , vielen Dank für die Antwort.
Dann mache ich das ganz schnell und komme dann zu der nächsten Teilaufgabe.
Kurz noch eine kleine Frage :
Immer wenn zwei Funktionen eine Fläche einschließen , muss ich die Differenz zwischen diesen beiden nehmen , oder ?
Gibt es in der Mathematik eine Möglichkeit eine Fläche , die zum Beispiel von 3 Funktionen eingeschlossen wird , zu berechnen , oder kann man das nur mit zwei Funktionen ?
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Hallo
"Immer wenn zwei Funktionen eine Fläche einschließen , muss ich die Differenz zwischen diesen beiden nehmen"
ja, setze aber zur Sicherheit die Betragsstriche
"Gibt es in der Mathematik eine Möglichkeit eine Fläche , die zum Beispiel von 3 Funktionen eingeschlossen wird , zu berechnen , oder kann man das nur mit zwei Funktionen ?"
ich gebe dir mal als Antwort ein Bild, betrachte mal das Intervall
[mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke für deine Mühe , aber ich glaube mit 3 Funktionen geht das ganze nicht mehr , wie soll man das berechnen , da muss man Teilfächen berechnen.
Kommen wir aber nun zur Aufgabe zurück :
Ich habe für [mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] raus.
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{g(x)-f(x) dx}
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{-1}{(x^2 + x) - (x^{3} +x^2) dx} [/mm] =
[mm] [\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] ] - [ [mm] \bruch{1}{4}x^{4}+ \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] ]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
Stimmt die ERSTE Teilfläche so ?
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Hallo pc_doctor,
> Danke für deine Mühe , aber ich glaube mit 3 Funktionen
> geht das ganze nicht mehr , wie soll man das berechnen , da
> muss man Teilfächen berechnen.
>
> Kommen wir aber nun zur Aufgabe zurück :
>
> Ich habe für [mm]A_1[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm] raus.
>
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{-1}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
>
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{-1}{(x^2 + x) - (x^{3} +x^2) dx}[/mm] =
>
> [mm][\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] ] - [
> [mm]\bruch{1}{4}x^{4}+ \bruch{1}{3}x^{3}[/mm] ]
>
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
>
> Stimmt die ERSTE Teilfläche so ?
Ja.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1}{2} x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
g(x) = [mm] x^{3} [/mm] - x
I : [ -1 ; 2 ] |
Okay , alles klar vielen Dank für die Korrektur.
Kommen wir nun zur 2. Aufgabe :
Die Skizze :
http://s1.directupload.net/images/120312/3xo2zcxg.jpg
Als erstes :
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
Bei der zweiten Teilfläche bin ich mir nicht sicher , weil das ja unterhalb der x-Achse liegt :s
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Hallo, du hast erneut obere- und untere Funktion verwechselt, setze also Betragsstriche, auch wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, kannst du so weiter rechnen, beginne bitte für eine neue Aufgabe einen neuen Thread, Steffi
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Alles klar vielen Dank , ich weiß , ich mache aus Gewohnheit immer f(x) - g(x) , sobald das Ergebnis negativ ist , mache ich daraus , durch die Betragsstriche , einen positiven Wert , das geht doch , oder ?
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Hallo pc_doctor,
> Alles klar vielen Dank , ich weiß , ich mache aus
> Gewohnheit immer f(x) - g(x) , sobald das Ergebnis negativ
> ist , mache ich daraus , durch die Betragsstriche , einen
> positiven Wert , das geht doch , oder ?
Sicher geht das.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 12.03.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank an alle !
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