Fläche unter einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Janina09 |
| Aufgabe | Gerechne die Fläche unter der Funktion [mm] e^x [/mm] mal [mm] (x^2 [/mm] - 4 )
im Intervall -2 bis 2 |
Wie kann man die Fläche unter einer e funktion bestimmen?
muss zunächst warscheinlich F (ex) bestimmen...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Janina,
Lese ich die Aufgabe richtig wie folgt?
| Aufgabe | > Berechne die Fläche unter der Funktion [mm] \red{f(x)=}e^x*(x^2-4)
[/mm]
>
> im Intervall [-2;2] |
> Wie kann man die Fläche unter einer e funktion bestimmen?
>
> muss zunächst warscheinlich F (ex) bestimmen...?
Nein, Du musst schon die ganze Funktion nehmen. So sieht sie aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du berechnest also die Fläche [mm] A=-\int_{-2}^{2}{(x^2-4)e^x\ dx}
[/mm]
Das Integral ist lösbar, es ist also eine allgemeine Stammfunktion zu finden. Dazu zerlegst Du es am besten in die beiden Integrale über [mm] x^2*e^x [/mm] und [mm] 4e^x, [/mm] wovon das erste mit zweimaliger partieller Integration schnell zu finden ist, und das andere direkt.
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Janina09 |
Danke!
Also muss ich es zunächst so trennen [mm] x^2 e^x [/mm] - [mm] 4e^x [/mm] ?
und das dann integrieren..
1/3 [mm] x^3 [/mm] 1/x+1 [mm] e^x+1 [/mm] - 1/x+1 4 [mm] e^x+1
[/mm]
?
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Hallo Janina,
mal abgesehen davon, dass ich nicht wirklich lesen kann, was Du schreibst (benutze doch bitte den Formeleditor!), ist die richtige Lösung darin sicher nicht enthalten, bis auf den Anfang. Ich verstehe gerade nicht, was Du da tust.
[mm] \int{(x^2-4)e^x\ dx}=\int{x^2e^x\ dx}-4\int{e^x\ dx}
[/mm]
Das rechte Integral fällt nicht schwer; es ist ja [mm] \int{e^x\ dx}=e^x [/mm] (+C)
Das andere musst Du, wie gesagt, partiell angehen:
[mm] u=x^2\quad v'=e^x
[/mm]
[mm] u'=2x\quad v=e^x
[/mm]
Damit ist
[mm] \int{x^2e^x\ dx}=x^2e^x-\int{2xe^x\ dx}
[/mm]
Und nun in einem zweiten Schritt das rechte Integral in dieser Gleichung wieder partiell integrieren.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Janina09 |
den letzten Schritt hab ich jetzt nicht ganz verstanden ?
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Rückfrage: hattet Ihr die Methode der partiellen Integration?
Sagt Dir [mm] \int{u'v}=uv-\int{v'u} [/mm] etwas?
Wenn nein, wirst Du Schwierigkeiten haben, [mm] \int{x^2e^x\ dx} [/mm] zu bestimmen.
Notfalls können wir sie Dir aber auch verraten. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Janina09 |
Nein, das hatten wir noch nicht, sag mir nichts!
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Hallo Janina,
na, ok. Dann braucht die Aufgabe wohl einen anderen Lösungsweg. 
Da wird offenbar eine andere Überlegung gefordert. Du suchst ja eine Funktion, deren Ableitung gerade [mm] (x^2-4)e^x [/mm] ist, eben die entsprechende Stammfunktion.
Es dürfte klar sein, dass sie den Faktor [mm] e^x [/mm] enthält, und darüber hinaus einen weiteren Faktor, in dem Potenzen von x vorkommen. Wie dieser Faktor, ein kleines Polynom, genau aussieht, ist nun zu bestimmen.
Nehmen wir sicherheitshalber mal ein Polynom dritten Grades an: [mm] ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
Dann soll [mm] \bruch{d}{dx}\left((ax^3+bx^2+cx+d)*e^x\right)=(x^2-4)e^x [/mm] sein.
Leite die linke Seite der Gleichung doch mal ab (Achtung: Produktregel!) und fasse zusammen. Danach kann man a,b,c und d, die Du alle wie Zahlen behandeln kannst (also als Parameter) bestimmen, indem man einen Koeffizientenvergleich macht - und wieder ein kleines LGS bekommt.
Aber erstmal brauchen wir die Ableitung.
Grüße
reverend
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