Fläche zwischen 2 Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 08.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi Habe einige Fragen:
| Aufgabe 1 | Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen f und g begrenzt wird.
a) f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ; g(x)=2,5x-5,25 |
Meine Berechnung:
Schnittstellen: f(x)=g(x)
x1= 0,5 x2= 2 x3=-0,4
wenn 0,5<x<2 ist, dann ist f(x)>g(x)
( Um das -0,4 muss ich mich ja nicht kümmern, da [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] bei 0 eh eine Polstelle hat und dort keine Stammfunktion existiert! )
Also [mm] \integral_{0,5}^{2} \bruch{-1}{x^2}-(2x-5,25), [/mm] dx =
[mm] [x^{-1}-x^2-5,25x]= [/mm] F(2)-F(0,5)= -14+0,875= -13, 125
Was habe ich falsch gemacht? Ich glaube eigentlich müsste dort [mm] 1\bruch{11}{16} [/mm] herauskommen! Wo liegt mein Fehler???
| Aufgabe 2 | Wie groß ist die Fläche zwische f und g im Intervall[ -1/1] ?
[mm] f(x)=x^3 [/mm] ; g(x)=x+1 |
wenn ich nun die Schnittstellen berechne, kommt heraus, das es keine in dem Intervall gibt. Und g(x) ist größer als f(x) Also integriere ich
[mm] \intergral_{-1}^{1}(x+1)-(x^3), [/mm] dx= [ [mm] 0,5x^2+x-0,25x^4]= [/mm] 1,25+0,75=2
In wirklichkeit soll aber -2 herauskommen! Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristien!
Da ist schon ziemlich verwirrend, wenn Deine Aufgabenstellung ein Minuszeichen unterschlägt ... Du meinst bei der einen Funktion wohl $f(x) \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{x^2}$ [/mm] , oder?
> Also [mm]\integral_{0,5}^{2} \bruch{-1}{x^2}-(2x-5,25),[/mm] dx = [mm][x^{-1}-x^2-5,25x]=[/mm] F(2)-F(0,5)= -14+0,875= -13, 125
Du machst hier einen Vorzeichenfehler, da Du das eine Klammerpärchen einfach weglässt, ohne die Vorzeichen zu ändern.
Es muss heißen:
[mm]\integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-(2x-5.25) \ dx} \ = \ \integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-2x\red{+}5.25 \ dx} \ = \ \left[ \ \bruch{1}{x}-x^2\red{+}5.25x \ \right]_{0.5}^{2} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 08.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen f und g begrenzt wird.
a) f(x)= $ [mm] \bruch{-1}{x^2} [/mm] $ ; g(x)=2,5x-5,25 |
Hallo,
Schnittstellen x1= 0,5 x2= 2 x3=-0,4
Und dann berechnet man nur das Integral [mm] \integral_{0,5}^{2}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
Muss man dann nicht von -0,4 sich linksseitig an 0 annähern?
Also das mit der Polstelle verwirrt mich, warum muss ich den Flächeninhalt von -0,4 bis 0,5 weglassen? Muss ich nicht -0,4 bis -0,000000001 gucken? Das wäre dann bestimmt auch schon unendlich... Also ist es legal, [mm] \integral_{-0,4}^{0,5}{f(x)-g(x) dx} [/mm] wegzulassen?
Grüße Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 08.10.2006 | | Autor: | zetamy |
> Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen f und
> g begrenzt wird.
>
> a) f(x)= [mm]\bruch{-1}{x^2}[/mm] ; g(x)=2,5x-5,25
> Hallo,
>
> Schnittstellen x1= 0,5 x2= 2 x3=-0,4
>
> Und dann berechnet man nur das Integral
> [mm]\integral_{0,5}^{2}{f(x)-g(x) dx}[/mm]
>
> Muss man dann nicht von -0,4 sich linksseitig an 0
> annähern?
>
> Also das mit der Polstelle verwirrt mich, warum muss ich
> den Flächeninhalt von -0,4 bis 0,5 weglassen? Muss ich
> nicht -0,4 bis -0,000000001 gucken? Das wäre dann bestimmt
> auch schon unendlich... Also ist es legal,
> [mm]\integral_{-0,4}^{0,5}{f(x)-g(x) dx}[/mm] wegzulassen?
>
>
> Grüße Johann
>
Hallo Johann,
1. Kristien soll die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen. Das Flächenstück im Intervall [mm][-0,4\lex\le0,5][/mm] liegt aber nicht zwischen den Graphen.
Außerdem ist im Intervall eine Polstelle, weshalb man beide Seiten getrennt rechnen müsste. (siehe 2.)
2. Das Integral [mm]\integral_{-0,4}^{0}{f(x)-g(x) dx}[/mm] ist ein "Uneigentliches Integral":
[mm]\limes_{x \to \0}\integral_{-0,4}^{x}{f(x)-g(x) dx}[/mm], mit x gegen "0".
Der Wert kann unendlich sein, muss aber nicht.
Du kannst du Gleichungen ja mal hier ![[]](/images/popup.gif) http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm eingeben, vielleicht wird es dann deutlicher.
Gruß, zetamy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 08.10.2006 | | Autor: | zetamy |
Hallo Kristien,
Die 2. Aufgabe hast du richtig gerechnet. Deine Information, das Ergebnis sei -2, ist wohl falsch.
Da die Fläche zwischen den beiden Graphen bestimmt werden soll, muss der Wert des Integrals positiv sein - wenn er negativ wäre, müsstest du das Integral absolut setzen.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 08.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Du machst hier einen Vorzeichenfehler, da Du das eine Klammerpärchen >>einfach weglässt, ohne die Vorzeichen zu ändern.
Es muss heißen:
$ [mm] \integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-(2x-5.25) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-2x\red{+}5.25 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \bruch{1}{x}-x^2\red{+}5.25x \ \right]_{0.5}^{2} [/mm] \ = \ ... $<<
Bei der Aufgabe 1 muss aber [mm] 1\bruch{11}{16} [/mm] herauskommen. Das tut es aber nicht! Mit der Korrektur würde 2,625 rauskommen und nicht das eben erwähnte Ergebnis. Irgendwo muss noch ein Fehler stecken! Aber wo?
Dankeschön im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Du machst hier einen Vorzeichenfehler, da Du das eine
> Klammerpärchen >>einfach weglässt, ohne die Vorzeichen zu
> ändern.
>
> Es muss heißen:
>
> [mm]\integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-(2x-5.25) \ dx} \ = \ \integral_{0.5}^{2}{-\bruch{1}{x^2}-2x\red{+}5.25 \ dx} \ = \ \left[ \ \bruch{1}{x}-x^2\red{+}5.25x \ \right]_{0.5}^{2} \ = \ ... [/mm]<<
>
[mm] =[\bruch{1}{2}-4+\bruch{21}{2})-[\bruch{1}{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{4}+\bruch{11}{8}]
[/mm]
[mm] =\bruch{8-64+168-32+4-42}{16}=\bruch{34}{16}=2,\red{1}25
[/mm]
Ich komme bei mehrmaligem Nachrechnen auf [mm] \bruch{34}{16}=2,\red{1}25.
[/mm]
Fehler finde ich aber in der Lösung auch nicht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 08.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi, habe ich vielleicht die Stammfunktion falsch ausgerechnet, oder habe ich nicht beachtet, dass ich einen größeren Teil abziehen muss, da er sich unter der x-Achse befindet? Irgendwo muss ein Fehler stecken, da [mm] 1\bruch{11}{16} [/mm] herauskommen muss
Bye
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hmm
Das einzige, was jetzt noch sein könnte, ist, dass die Fläche sich wie folgt berechnet.
[mm] A=|\integral_{0,5}^{2}{\bruch{1}{x²}dx}|+|\integral_{0,5}^{2}{2,5x-5,25dx}|
[/mm]
Ich habe mal ein Bild der Fläche Gezeichnet - oder besser von Funkyplot zeichnen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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