Fläche zwischen 2 funktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Do 01.06.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | Man berechne die Fläche, die der Kreis: [mm] r=3*cos(\phi) [/mm] und die Kardioide: [mm] r=1+cos(\phi) [/mm] gemeinsam einschließt. |
hallo zusammen...
gibt es für diese art aufgaben eine einfache möglichkeit die fläche zu berechnen wie z.b. bei kartesischen funktionen mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)_{1}-f(x)_{2} dx}?
[/mm]
oder ist das bei diesen funktionen etwas aufwendiger und wenn ja könnte mir jemand kurz erklären wie man das macht?
mfg Gwin
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Kannst du denn in Polarkoordinaten integrieren?
In kartesischen Koordinaten geht das erstmal so:
[mm] $A=\integral_{x_1}^{x_2}\integral_{y_1}^{y_2}dydx$
[/mm]
Die Fläche unter ner Kurve geht dann von [mm] $y_1=0$ [/mm] bis [mm] $y_2=f(x)$, [/mm] sodaß du nach der y-Integration das bekannte Resultat
[mm] $A=\integral_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ [/mm]
hast.
In Polarkoordinaten gehts genauso, allerdings kommt hier noch ein zusätzliches r mit in das Integral rein:
[mm] $A=\integral_{\phi_1}^{\phi_2}\integral_{r_1}^{r_2}rdrd\phi$
[/mm]
Jetzt gehen die Grenzen von r normalerweise von 0 bis [mm] $r_2=f(\phi)$, [/mm] also so:
[mm] $A=\integral_{\phi_1}^{\phi_2}\integral_{0}^{f(\phi)}rdrd\phi=\bruch{1}{2}\integral_{\phi_1}^{\phi_2}f(\phi)^2d\phi$
[/mm]
Das ist das, was du suchst. Setze die beiden Funktionen ein, und integiere. Ziehe dann beide Ergebnisse voneinander ab, denn (f-g)² ist nicht f²-g², wie im kartesischen Fall!
Achso, die Integrationsgrenzen sind natürlich [mm] $0\le \phi \le 2\pi$
[/mm]
Wenn du wissen willst, woher das r kommt, frag, aber EIGENTLICH denke ich, daß du grade dieses Thema behandelst, oder?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 So 04.06.2006 | | Autor: | Gwin |
hi Event_Horizon...
vielen dank für deine antwort...
prinzipiell kann ich das integrieren von polarkoordinaten. nur scheitert es daran das ich nicht weiß wie man die flöche zwischen zwei kurven in dieser form berechnet...
habe die lösung anscheinend nicht so ganz verstanden...
habe mich mal an der lösung versucht, komme aber nicht auf das von unserem prof gegebenen ergebniss...
auch durch rumspielen mit maple bin ich nicht auf das ergebniss gekommen...
habe folgendes in maple eingegeben...
[mm] \bruch{1}{2}*( \integral_{0}^{2 \pi}{(3*cos(\Phi))^{2} d\Phi})-(\integral_{0}^{2 \pi}{(1+cos(\Phi))^{2} d\Phi})
[/mm]
als ergebniss bekomme ich [mm] 3\Pi, [/mm] als lösung haben wir aber [mm] \bruch{5}{4}\Pi [/mm] bekommen...
könntest du mir eventuell nochmal erklären wo ich mein fehler mache?
mfg Gwin
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Hallo!
Sorry, ich habe den Thread aus den Augen verloren.
Der Fehler ist wohl ein einfacher Anfängerfehler, und ich habe im Eifer des Gefechts auch nciht dran gedacht.
Hast du die beiden Funktionen mal geplottet? Die schneiden sich bei 1/3 pi und -1/3pi. Die Karotinoide zerzeilt den Kreis in einen mondförmigen Teil und den Rest. Dieser Rest ist gefragt
Die Integration verläuft wie oben, jedoch mußt du folgendes bilden:
[mm] $\integral_{-1/3\pi}^{+1/3\pi} +2*\integral_{1/3\pi}^{1/2\pi} [/mm] <Kreis>$
Wenn du die die beiden Funktionen mal plotten läßt, sollte das klar werden.
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