Fläche zwischen Gerade - Kurve < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 09.03.2008 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Berechne die Fläche die von dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2 [/mm] und der Geraden g(x)=16x-20 eingeschlossen wird. |
Prinzipiell gilt ja Schnittstellen berechnen, dann f(x)-g(x) und folglich die Stammfunktion bilden und die Grenzen eintragen.
Doch das Problem das ich habe ergibt sich erst bei Betrachtung der Graphen:
http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER47d3ff5e770b10.15536431
Also ich betrachte jetzt nur die Fläche von Null bist zu dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) - dieser ist bei der Stelle 2.
Allerdings liegt dieser Schnittpunkt ja rechts von der Nullstelle, wird also mit f(x)-g(x) die eingeschlossene Fläche richtig berechnet?
Mein Ergebnis der rechten Fläche - also 0 bis 2 - wäre ca 14,7.
Doch diese Fläche erscheint mir sehr groß und ich kann mich nicht damit anfreunden.
Kann jemand von euch mir auf die Sprünge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 09.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Flächeininhalt ist aber korrekt.
Die Gesamte Fläche zwischen f(x) und g(x) ist sogar viel grösser
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 09.03.2008 | | Autor: | bOernY |
Das kann aber doch nicht sein!
Um mich nochmal zu wiederholen - ich betracht die Fläche von 0 bis 2 die von der Kurve und der Tangente und der x-Achse eingeschlossen wird. Würde man jetzt die Kästchen zählen und "abschätzen" dann sind das nie im Leben 14,7 - das ist doch einfach nicht möglich
Ich würde etwas um 1,3 schätzen aber niemals so eine große Zahl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 09.03.2008 | | Autor: | bOernY |
[mm] f(x)-g(x)=x^3+x^2-16x+20=k(x) [/mm]
Folglich ist die Stammfunktion K(x) folgende:
[mm] K(x)=\bruch{1}{4}x^4 + \bruch{1}{3}x^3 - 8x^2 + 20x[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{2}{k(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*16 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 8 - 8*4 + 20*2 = 4 + [mm] \bruch{8}{3} [/mm] - 32 + 40 = [mm] \bruch{44}{3}$
[/mm]
Joa das wär meine Rechnung dazu
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Hallo!
Das was du da gemacht hast ist richtig aber du hast nicht die Fläche zwischen f(x) und g(x) berechnet. Du sollst ja die Fläche zwischen den Graphen berechnen f(x) und g(x) berechnen. Also [mm] \integral_{-5}^{0}{f(x)-g(x) dx}+\integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx}. [/mm] Wenn du auf mein ergebnis kommen möchtest musst du der xAchse auch eine Funktion zuordnen. Sie ist nämlich h(x)=0
Demnach betrchtest du die Gläche zwischen f(x),g(x) und h(x) 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 09.03.2008 | | Autor: | bOernY |
Ja aber wie soll das dann gehen?
Integrale geben doch eh immer die Fläche bis zur x-Achse an?!
und wenn ich h(x)=0 mit einfüge... wie soll das denn funktionieren? In der Stammfunktion würd ja dann stehe - 0x und das würd den wert nicht großartig verändern.
Wärst du so lieb deine Rechnung hier darzulegen?
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Hallo,
schaue dir mal das Bild an, du zeichnest die Gerade (die y-Achse) x=0 ein, dann kannst du die zwei angegebenen Integrale berechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Das was Steffi dir sagte ist richtig aber du sagtest doch in einem Post dass du die Fläche f(x),g(x) und der x Achse haben willst und du durch abschätzung eine Fläche von ca. 1,7 herausbekommen wolltest Schau dir das Bild an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Demnach benötigst du ja auch die schnittstelle, genauer die Nullstelle der Funktion g(x) genau das besagt doch die Funktion h(x)=0 es nämlich g(x)=h(x) [mm] \Rightarrow [/mm] 16x-20=0 Und das ist nichts anderes als die Nullstelle der Funktion g(x). Mit diesen angaben erhälst du dann eine Fläche von 2,17
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 09.03.2008 | | Autor: | bOernY |
Trotzdem verstehe ich immernoch nicht wie du auf das Ergebnis kommst?!
Kannst du die Rechnung nicht eben einstellen?
Ich wäre dir sehr dankbar
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Hallo,
wenn du diese Fläche berechnest, entfernst du dich aber von deiner eigentlichen Aufgabenstellung, berechne
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \integral_{0}^{2}{x^3+x^2 dx} [/mm] hellblaue und dunkelblaue Fläche
davon das Dreieck (dunkelblaue Fläche) subtrahieren, Grundseite ist 0,75 und Höhe ist 12, auf die Länge der Grundseite kommst du über die Nullstelle, auf die Höhe kommst du über f(2)
[mm] \bruch{20}{3}-4,5=\bruch{13}{6}=2,166...
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Ich glaube es geht noch ein Tick einfacher: Beachte h(x) ist die x-achse demnach ist h(x)=0.
Zu berechnen ist [mm] \integral_{0}^{1,25}{f(x)-h(x) dx}+\integral_{1,25}^{2}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
Auf das erste Integral bin ich folgendermaßen gekommen: Ich will ja die Fläche von 0 bis 1,25 berechnen also die Fläche zw. f(x) und h(x). Das zweite Integral ist analog also von den Grenzen 1,25 bis 2 zw der Graphen f(x) und g(x)
Auf die 1,25 bin ich folgendermaßen gekommen: g(x)=h(x) [mm] \Rightarrow [/mm] 16x-20=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 16x=20 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1,25
Nun die Integrale berechnen und du erhälst [mm] \bruch{13}{6}\approx [/mm] 2,17
Ok?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 09.03.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Beachte aber dass der tatsächliche Flächeninhalt weit größer ist als das was ich eben sagte. du sollst ja die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen. Schnittpunkte der Graphen sind [mm] x_{s}=-5 [/mm] und [mm] x_{s}=2 [/mm] demnach musst du [mm] \integral_{-5}^{0}{f(x)-g(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm] berechnen und beide ergebnisse addieren.
Gruß
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