Flächen berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Berechne den Flächeninhalt die der Graph f mit der 1. Achse einschliesst.
[mm] f(x)=4-x^2
[/mm]
[mm] f(x)=-x^2+3x [/mm] |
Hallo,mag jemand mal meine Ergebnisse überprüfen.Bin mir etwas unsicher, weil es relativ einfach für mich war.
[mm] f(x)=4-x^2 [/mm] habe zuerst Stammfkt. gemacht
[mm] F(x)=-1/3x^3+4x [/mm] dann Abgeleitet(die Ausgangsfkt.),
f'(x)=-2x
f''(x)=2 meinen Hoch/Tiefpunkt ermittel,
HP(0;4) die 4 in F eingesetzt
F(4)= 5 1/3 bedeutet Flächeninhalt von 5 1/3 Einheiten.
mit der zweiten bin ich genauso verfahren, als Ergebnis für den Flächeninhalt habe ich da 3,75 Einheiten.
dank an den der es überprüft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Hallo??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Also das Ergebnis für die erste Aufgabe beibt so, für die zweite bekomme ich nun 10,5 heraus ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
aber wo ist der Fehler? Denke aber auch dass das nicht richtig sein kann, ist viel zu groß. Kann mir jemand mit der zweiten Aufgabe erklären wie das geht?
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | | Berechne den Flächeninhalt von [mm] f(x)=-x^2+3x [/mm] den der Graph f mit der 1.Achse einschliesst. |
Wer kann mir sagen wo ich was falsch mache. Wenn ich das ganze als Zeichnung sehe und sehr großzügig rechne ist die Fläche unter 6 Einheiten groß.
In der Schule haben wir zuerst die Ableitungen gebildet,
f'(x)=-2x+3
f''(x)=-2
dann die Stammfkt. bestimmt:
F(x)= - 1/3 [mm] x^3+3/2 x^2
[/mm]
Meine Nullstellen liegen bei (0;3)
so um die Fläche zu bestmmen setzt ich mein x-Wert des H-Punktes ein.
F(1,5)= -1/3 [mm] (1,5)^2+3/2(1,5)^2
[/mm]
und bekomme 2,25 heraus.
ist das richtig? Oder wo ist der Fehler?
Danke für jeden Tip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Zunächst einmal zur Lösung:
Du berechnest zuerst die Nullstellen deiner Funktion
[mm] $f(x)=-x^2+3x=x(-x+3)$
[/mm]
und erhälst $x=0$ und $x=3$ als Nullstellen. Dann berechnest du die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und
der 1. Achse (x-Achse), indem du folgendes berechnest:
[mm] $\int_{0}^{3}{-x^2+3x dx}\,=\,-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{3}{2}x^2\mid{}^{3}_{0}\,=\,-\bruch{1}{3}3^3+\bruch{3}{2}3^2\,=\,-\bruch{27}{3}+\bruch{27}{2}\,=\,4\cdot\bruch{1}{2}\,=\,4,5$
[/mm]
Du darfst als Integralgrenzen keine Hochpunkte verwenden, sondern musst die Nullstellen deiner Funktion nehmen!
Stelle dir das ganze bldlich vor. Du willst die Fläche zwischen den Graphen und der Achse berechnen. Dann gehst du doch von den Schnittpunkten mit der x-Achse (Nullstellen) aus, d.h. hier in diesem Fall betrachtest du die Stellen $x=0$ und $x=3$ und möchtest dazwischen die Fläche berechnen.
Ich hoffe, dass dir das weitergeholfen hat.
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Beliar |
noch eine Frage was bedeutet dx und wofür steht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 19.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
die $0$ und $3$ sind deine Integralgrenzen, d.h. die Ränder deiner 1.Achse (x-Achse) zwischen denen du die Fläche berechnen möchtest. Sie deuten nur daraufhin, dass du (nachdem du die Stammfunktion berechnet hast), diese Grenzen in deine Stamfunktion einsetzen musst.
Dabei setzt du die obere Zahl n deine Stammfunktion ein und ziehst davon deine Stammfunktion mit dem unteren Wert eingesetzt ab.
Ciao
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 19.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
ich mache jetzt die erste Aufgabe nochmal,mag das noch mal jemand überprüfen, und auf die richtige Schreibweise achten.
[mm] f(x)=4-x^2 [/mm] ermittel die Nst. (-2;2)
bilde die Differenz, das sind 4
jetzt die Stammfkt.
F(x)= 4x - 1/3 [mm] x^3
[/mm]
setze die Differenz ein,also die 4
F(4)= 4*4 - 1/3 [mm] 4^3 [/mm] berechne das
F(4)= 16 - 21 1/3
F(4)= -5 1/3
so jetzt habe ich eine negative Fläche das kann doch nicht sein, oder?? wo liege ich da falsch?
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Hallo,
Deine Funktion ist korrekt [mm] F(x)=4x-\bruch{1}{3}x^{3}, [/mm] ebenso Deien Nullstellen -2 und 2, das sind gleichzeitig Deine Integrationsgrenzen [mm] \integral_{-2}^{2}{-x^{2}+3x dx} [/mm]
jetzt nimmst Du F(x), setzt die obere Grenze (2) ein minus untere Grenze(-2), [mm] (8-\bruch{8}{3})-(-8+\bruch{8}{3})=\bruch{16}{3}-(-\bruch{6}{3}=\bruch{32}{3}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe alles als Bild angefügt, Du sollst die hellblaue Fläche berechnen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 So 19.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
es lautet natürlich [mm] \bruch{16}{3}-(-\bruch{16}{3})=\bruch{32}{3}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 19.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
ich kann mit dem letzten Schritt leider garnichts anfangen.
ich muss doch mit 4 (Differenz)rechen oder wie kommst du auf 8
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 So 19.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Im Bild erkennst Du, die hellblaue Fläche geht von -2 bis 2, sollte klar sein, somit lauten Deine Grenzen 2, obere Grenze und -2, unterer Grenze, die Zahlen setzt Du jetzt in [mm] 4x-\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] ein, machst das erst für die 2, dann für die -2,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 19.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Ich weiss das es nicht Aufgabe des Forums ist Aufgaben zurechen, sondern nur Hilfestellung zu geben. Aber ich komme mit dieser Funktion nicht weiter, kann deshalb ausnahmsweise jemand diese für mich mit Kommentar lösen, ich verstehe nicht wieso ich auf einmal mit 2 und (-2) rechne und nicht einfach mit 4 ?
Bestimme den Flächeninhalt von f()= [mm] 4-x^2
[/mm]
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Ich denke, Du hast verstanden, woher -2 und 2 kommen, schau dir noch einmal mein Bild an, die 4 bedeutet nur, dass der Abstand von -2 bis 2 auf der x-Achse 4 Längeneinheiten beträgt, zum Rechnen benötigt man die 4 nicht sonder nur die Grenzen 2 und -2,
Steffi
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[mm] \text{Hallöchen,}
[/mm]
[mm] \text{Wenn du einfach den Differenzwert der beiden Nullstellen einsetzt, so berechnest du}
[/mm]
[mm] \text{ausschließlich einen Funktionswert der von dir bestimmten Stammfunktion. Es ist klar,}
[/mm]
[mm] \text{dass du hier dann einen "'negativen"' Wert (der übrigens überhaupt kein Flächeninhalt in}
[/mm]
[mm] \text{dem Sinne ist) erhälst, da der Funktionswert von 4 der Stammfunktion negativ ist.}
[/mm]
[mm] \text{Du musst, wie schon oft jetzt gesagt wurde, die Fläche begrenzen, die du berechnen}
[/mm]
[mm] \text{willst. Allgemein wird mit den Integral eine Fläche zwischen der x-Achse und einer gege-}
[/mm]
[mm] \text{benen Funktion berechnet. Dies erfordert aber immer zwei feste Grenzen, die die Fläche,}
[/mm]
[mm] \text{die du berechnen sollst, einschränken (außer, du setzt als Grenze}$\ \infty [/mm] \ [mm] $\text{oder}$\ -\infty \$
[/mm]
[mm] \text{, aber das tut jetzt hier gar nichts zur Sache).}
[/mm]
[mm] \text{Die Stammfunktion einer (stetig diff.-baren) Funktion beschreibt, wie gesagt, diesen Flä-}
[/mm]
[mm] \text{cheninhalt. So musst du sie also erst einmal bestimmen:}
[/mm]
[mm] $f:\IR \rightarrow [4;-\infty[,x\mapsto-x^2+4$
[/mm]
[mm] $F:\IR \rightarrow \IR,x\mapsto-\bruch{1}{3}x^3+4x$
[/mm]
[mm] \text{Jetzt möchtest du die Fläche berechnen, die von der x-Achse und der Funktion eingeschlossen}
[/mm]
[mm] \text{wird. Also wird die Berechnung durch die Nullstellen begrenzt, die also die Integrationsgrenzen}
[/mm]
[mm] \text{darstellen.}
[/mm]
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx}$
[/mm]
[mm] \text{Dieses S nennt sich Integral, f(x) ist die zu integrierende Funktion (von der du die Stammfunktion}
[/mm]
[mm] \text{bestimmst), das ist der Integrand (sozusagen das zu Integrierende), a und b sind die Grenzen, in}
[/mm]
[mm] \text{deinem Falle also die Nullstellen, der Integration, dx steht für unendlich kleine x (musst du aber jetzt}
[/mm]
[mm] \text{nicht verstehen, schreibt man nur der Form halber).}
[/mm]
[mm] \text{Jetzt setze ein:}
[/mm]
[mm] $\integral_{-2}^{2}{-x^2+4 dx}=\left[-\bruch{1}{3}x^3+4x\right]_{-2}^{2}$
[/mm]
[mm] \text{Als (logische) Regel gilt: Funktionswert der oberen (also der größere x-Wert der beiden Nullstellen)}
[/mm]
[mm] \text{minus Funktionswert der unteren Grenze der Stammfunktion.}
[/mm]
[mm] $\integral_{-2}^{2}{-x^2+4 dx}=\left[-\bruch{1}{3}x^3+4x\right]_{-2}^{2}=-\bruch{1}{3}*2^3+4*2-\left(-\bruch{1}{3}*(-2)^3+4*(-2)\right)=10\bruch{2}{3}$
[/mm]
[mm] \text{Damit wäre die Aufgabe gelöst. Doch jetzt musst du noch einmal vorsichtig sein: Du hast jetzt den}
[/mm]
[mm] \text{Wert des Integrals im angegebenen Intervall bestimmt, doch wenn du ihn als Flächeninhalt \emph{deuten}}
[/mm]
[mm] \text{willst, so musst du, wenn nötig, deine Integration in Betragstriche setzen, da das Integral ja auch einen nega-}
[/mm]
[mm] \text{tiven Wert annehmen kann (wenn eine Fläche zwischen x-Achse und einem Teil einer Funktion, der \emph{unterhalb}}
[/mm]
[mm] \text{der x-Achse angesiedelt ist, berechnet wird). Also: vorsichtshalber das ganze immer in Betragstriche setzen, so dass du sorglos}
[/mm]
[mm] \text{A (für Flächeninhalt) davorschreiben kannst.}
[/mm]
[mm] $A_{gesucht}=\left|\integral_{-2}^{2}{-x^2+4 dx}\right|=\left|\left[-\bruch{1}{3}x^3+4x\right]_{-2}^{2}\right|=\left|-\bruch{1}{3}*2^3+4*2-\left(-\bruch{1}{3}*(-2)^3+4*(-2)\right)\right|=10\bruch{2}{3}\;[FE]$
[/mm]
[mm] \text{Gruß,}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 So 19.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Juhu!! es hat gefunkt.
Dank an alle die beteiligt waren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 19.11.2006 | | Autor: | Beliar |
wo kann ich den etwas über dx finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 So 19.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
gehe mal auf www.wikipedia.de und gebe dort unter Suche "Integralrechnung" ein, schöne Erklärung. Die Schreibweise "dx" bedeutet, dass Du nach x integrieren sollst.
Steffi
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