Flächen zwischen zwei Kurven < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 02.01.2008 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Die Kurve der Funktion [mm] f(x)=(4-e^x)*e^x [/mm] schneidet die Kurve der Funktion [mm] g(x)=e^x [/mm] in einem Punkt P. Die Kurve von f schließt mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch P eine Fläche ein.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
In welchem Verhältnis teilt die Kurve von g diese Fläche? |
Wie gehts weiter nachdem man den Schnittpunkt P und jenen von f mit der Koordinatenachse weiß?
Zur Vollständigkeit:
P errechnet sich durch gleichsetzen und da erhalte ich fuer [mm] x=\bruch{log3}{loge}=1,099.
[/mm]
Die andere Grenze, die ich für das Intervall benötige, ist die y-Achse (erklärt sich aus dem Schaubild).
Also steht dann da:
[mm] A=\integral_{0}^{1,099}{(4e^x-e^{2x})dx}
[/mm]
Sollte dies soweit richtig sein, ist mir klar, dass ich hier nun die Stammfunktion brauche. Aber wie leite ich das auf?
Den ganzen Rest der Aufgabe (in welchem Verhältnis..) verstehe ich mal gar nicht.
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Kurve der Funktion [mm]f(x)=(4-e^x)*e^x[/mm] schneidet die Kurve
> der Funktion [mm]g(x)=e^x[/mm] in einem Punkt P. Die Kurve von f
> schließt mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur
> y-Achse durch P eine Fläche ein.
> Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
> In welchem Verhältnis teilt die Kurve von g diese Fläche?
> Wie gehts weiter nachdem man den Schnittpunkt P und jenen
> von f mit der Koordinatenachse weiß?
> Zur Vollständigkeit:
> P errechnet sich durch gleichsetzen und da erhalte ich
> fuer [mm]x=\bruch{log3}{loge}=1,099.[/mm]
> Die andere Grenze, die ich für das Intervall benötige, ist
> die y-Achse (erklärt sich aus dem Schaubild).
>
> Also steht dann da:
>
> [mm]A=\integral_{0}^{1,099}{(4e^x-e^{2x})dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Was du bisher gerechnet hast, ist richtig.
Tipp: Lass den Ausdruck [mm]\ln3[/mm] statt 1,099 stehen, damit kannst du besser weiterrechnen.
> Sollte dies soweit richtig sein, ist mir klar, dass ich
> hier nun die Stammfunktion brauche. Aber wie leite ich das
> auf?
Erst einmal die Linearität des Integrals nutzen:
[mm]A=\integral_{0}^{\ln3}{(4e^x-e^{2x})dx} = 4 \integral_{0}^{\ln3}{e^xdx} - \integral_{0}^{\ln3}{e^{2x}dx}[/mm].
Kommst du allein weiter?
> Den ganzen Rest der Aufgabe (in welchem Verhältnis..)
> verstehe ich mal gar nicht.
Erstmal aufmalen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Kurve von g schneidet die Fläche A in zwei Teile. Wie groß ist der Verhältnis der Teilflächen?
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 02.01.2008 | | Autor: | LadyVal |
hey danke!
jepp.. an die linearitaet des integrals hab ich nun mal gar nicht gedacht. aber so isses nun klar. danke fuer auch fuer den tipp mit dem "ln3 stehen lassen".
was das verhaeltnis angeht:
muss ich dann einfach noch die flaeche zwischen der kurve von g und der x-achse ausrechnen und ins verhaeltnis zur erstausgerechneten kurve setzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> was das verhaeltnis angeht:
> muss ich dann einfach noch die flaeche zwischen der kurve
> von g und der x-achse ausrechnen und ins verhaeltnis zur
> erstausgerechneten kurve setzen?
Ich verstehe die Aufgabe so, dass du das Verhältnis zwischen den beiden unterschiedlich eingefärbten Flächen in dem Bild ausrechnen sollst. Also zum einen die Fläche zwischen f und g, zum Anderen die Fläche zwischen g und der x-Achse.
Du brauchst natürlich nur eine der beiden wirklich mit dem Integral auszurechnen, weil die Summe ja deine Gesamtfläche A ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 02.01.2008 | | Autor: | LadyVal |
so hab ichs auch gemeint. hab mich wohl etwas umstaendlich ausgedrueckt.
noch ne frage zum ersten teil:
wie rechne ich ohne taschenrechner folgendes aus:
[mm] ...-[\bruch{1}{2}*e^{2x}] [/mm] mit den grenzen 0 und ln3
=> ... [mm] -[\bruch{1}{2}*e^{2ln3}-\bruch{1}{2}]
[/mm]
=> ... [mm] -[\bruch{1}{2}*e^{ln3{^2}}-\bruch{1}{2}]
[/mm]
=> ... [mm] -[\bruch{1}{2}*3^{2}-\bruch{1}{2}]
[/mm]
??
so ungefaehr?
herzlichen dank, gell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 02.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das ist soweit korrekt, ausser dass du glaube ich die Integrationsgrenzen falsch herum eingesetzt hast.
[mm] \integral_{0}^{ln3}f(x)dx=F(ln(3))-F(0)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marius,
die Grenzen stimmen so, das war ja der zweite Summand; der erste ergibt 8, der zweite -4.
Viele Grüße
Rainer
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