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Hallo,
ich hab ein Problem mit folgender aufgabe, ist sicher trivial, aber ich komm einfach nicht drauf.
Sei A = {(x, y) 2 R2 : y >= x2} und B = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 <= 2}.
Berechnen Sie die Fläche der Figur A \ B.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mi 11.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Onkel_Dagobert,
willkommen im MatheRaum!
Du meinst also folgende Mengen:
[mm] $A=\{(x,y)\in\IR^2:y\ge x^2\}$ [/mm] und
[mm] $B=\{(x,y)\in\IR^2:x^2+y^2\le 2\}$
[/mm]
Die Aufgabe wird leichter zu lösen, wenn du dir die Mengen geometrisch veranschaulichst; dann dürfte die Lösung mit der Integralrechnung einfach zu finden sein.
Ein Punkt $(x,z)$ liegt in der Menge $A$, wenn [mm] $z\ge x^2$, [/mm] oder noch deutlicher: Wenn [mm] $z\ge [/mm] y$ mit [mm] $y=x^2$. [/mm] Die entscheidende Beobachtung ist hier, dass in $A$ Punkte liegen, die sich oberhalb des Graphen von [mm] $y=x^2$ [/mm] befinden.
Für die Menge $B$ sieht man mit ein bisschen Übung, dass es sich um eine Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt $(0,0)$ und dem Radius [mm] $r=\sqrt{2}$ [/mm] handelt; das erkennt man so: Die Gleichung [mm] $x^2+y^2=2$ [/mm] beschreibt nach dem Satz des Pythagoras einen Kreis mit dem Radius [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] die Ungleichung [mm] $x^2+y^2\le [/mm] 2$ alle Kreise mit einem Radius kleiner als [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] also eine Kreisscheibe.
Die Menge [mm] $A\setminus [/mm] B$ enthält nun alle Punkte aus $A$, die nicht auch in $B$ liegen, also alle Punkte oberhalb des Graphen von [mm] $y=x^2$, [/mm] außer den Punkten, die in besagter Kreisscheibe liegen.
Siehst du, dass dieser Flächeninhalt (nach oben) nicht begrenzt ist? Der Flächeninhalt läßt sich nicht berechnen, er ist unendlich groß.
(Übrigens wäre er berechenbar, wenn [mm] $B=\{(x,y)\in\IR^2:x^2+y^2\ge 2\}$ [/mm] wäre, ich hoffe, das war kein Tippfehler von dir.)
Bei weiteren Unklarheiten: Frag' einfach nach, ich liefere auch gerne noch eine Skizze.
Alles Gute,
Marc.
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Danke dir Marc, dieses Forum ist echt super. Nein, es war kein Tippfehler ist schon richtig so. Allerdings hab ich noch eine Frage zu diesem Thema, wenn ich jetzt nicht A / B berechnen will, sondern A [mm] \cap [/mm] B, dann ist das doch die Fläche die zwischen dem Kreis und der Fläche des Kreises liegt, oder ?? Wie würde ich da ganz konkret das Integral aufstellen ? Zunächst die Schnittpunkte berechnen und dazwischen dann die Funktionen voreinander abziehen ??
Danke schonmal !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 11.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Onkel Dagobert,
wenn du den Flächeninhalt des Durchschnittes berechnen willst, solltest du dich aus Symmetriegründen nur auf den 1. Quadranten beschränken. Und dann am Schluss alles mal 2 nehmen...
So, wo schneiden sich denn die beiden (Rand-)Funktionen im 1.Quadranten?
Aus [mm]x^2= 2 - x^2[/mm] folgt: [mm]x=1[/mm] und [mm]x=-1[/mm].
Das heißt, die beiden (Rand)-Funktionen schneiden sich im ersten Quadranten im Punkt [mm]P(1/1)[/mm].
Man kann [mm]x^2 + y^2 = 2[/mm] im ersten Quadranten als Funktion schreiben, so:
[mm]y = f(x) = \sqrt{2-x^2}[/mm].
Hast du dir eine Skizze gemacht? Dann ist es ja jetzt vielleicht klar, wie man den Flächeninhalt berechnet, nämlich so (die "mal zwei" kommen -wie gesagt- daher, dass im 2. Quadranten der gleiche Flächeninhalt entsteht):
$A = 2 [mm] \cdot \left[ \int_0^1 \sqrt{2-x^2}dx - \int_0^1 x^2 dx \right]$.
[/mm]
Verstanden? Wenn nein, dann frage bitte nach.
Melde dich doch mal mit einer Lösung, d.h. berechne den Flächeninhalt doch jetzt mal konkret.
Liebe Grüße
Stefan
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