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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 07.09.2009 | | Autor: | itil |
| Aufgabe | Es ist die Fläche zwischen gegebenen Kurven zu berechnen:
f(x) = [mm] 0,25x^3 [/mm] - [mm] 1,5x^2
[/mm]
g(x) = [mm] -0,5x^2 [/mm] + x - 4 |
1) Schnittstellen/Schnittpunkte berechnen:
f(x) = g(x)
[mm] 0,25x^3 [/mm] - [mm] 1,5x^2 [/mm] = [mm] -0,5x^2 [/mm] + x - 4
= [mm] 0,25x^3 -1x^2 [/mm] -x +4
a(x) = [mm] 0,25x^3 -x^2 [/mm] -x +4
a(x) = 0
x1 = -2
x2 = 2
x3 = 4
[mm] \integral [/mm] a(x) dx = [mm] \bruch{0,25x^4}{4} [/mm] - [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + 4x
1) x = -2 = -6,33333
2 x = 2 = 4,3333333
OG - UG
4,333 - -6,333 = 10,6666
3) x = 2 = 4,33333333
4) x = 4 = 2,6666666667
2,66667 - 4,3333 = -1,666
10,6666 - 1,6666 = 9 FE
korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 07.09.2009 | | Autor: | djmatey |
> Es ist die Fläche zwischen gegebenen Kurven zu berechnen:
>
> f(x) = [mm]0,25x^3[/mm] - [mm]1,5x^2[/mm]
> g(x) = [mm]-0,5x^2[/mm] + x - 4
> 1) Schnittstellen/Schnittpunkte berechnen:
Hallo 
>
> f(x) = g(x)
> [mm]0,25x^3[/mm] - [mm]1,5x^2[/mm] = [mm]-0,5x^2[/mm] + x - 4
> = [mm]0,25x^3 -1x^2[/mm] -x +4
Nein, die dritte Zeile ist nicht gleich der zweiten. Die zweite Zeile ist äquivalent dazu, dass die dritte Zeile Null gleicht. Bitte nicht einfach überall Gleichheitszeichen zwischensetzen, dann wird's falsch.
>
> a(x) = [mm]0,25x^3 -x^2[/mm] -x +4
>
> a(x) = 0
>
> x1 = -2
> x2 = 2
> x3 = 4
>
> [mm]\integral[/mm] a(x) dx = [mm]\bruch{0,25x^4}{4}[/mm] - [mm]\bruch{x^3}{3}[/mm] +
> 4x
Hier hast du [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] vergessen, die Stammfunktion von -x.
>
> 1) x = -2 = -6,33333
> 2 x = 2 = 4,3333333
Uaaaah, hier sträuben sich mir sämtliche Nackenhaare! -2 ist gleich -6,3?
Du meinst wahrscheinlich, dass -6,3 herauskommt, wenn du -2 in die Stammfunktion von a(x) einsetzt!? Dann stimmt das, was du meinst. Das musst du unbedingt anders aufschreiben - so ist es unglaublich falsch! =)
Für diese Rechnung hast du übrigens [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] berücksichtigt, was oben fehlt.
>
> OG - UG
> 4,333 - -6,333 = 10,6666
Soweit korrekt, aber bitte bei zwei Minuszeichen Klammern setzen! Ich würd außerdem die Schreibweise mit Brüchen empfehlen:
[mm] \bruch{13}{3}-(-\bruch{19}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
Brüche sind Zahlen, die sind nicht weniger wert als Dezimalzahlen! Im Gegenteil: Durch die Darstellung als Dezimalzahl bist du gezwungen, zu runden, und dadurch wird dein Ergebnis ungenauer als mit Brüchen.
>
> 3) x = 2 = 4,33333333
> 4) x = 4 = 2,6666666667
Siehe oben: Uaaaah!
Das, was du meinst, ist aber richtig 
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> 2,66667 - 4,3333 = -1,666
Auch hier besser Brüche benutzen!
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> 10,6666 - 1,6666 = 9 FE
>
> korrekt?
Der letzte Schritt stimmt nicht ganz, wenn du die Fläche berechnen willst!
Dein erstes Teilintegral zwischen -2 und 2 ist positiv. Das sagt dir, dass die Teilfläche oberhalb der x-Achse liegt. Das zweite Teilintegral ist negativ. Dementsprechend liegt die Teilfläche unterhalb der x-Achse. Die Fläche ist aber trotzdem positiv, also +1,6666, denn negative Flächeninhalte gibt es nicht. Das zweite Teilintegral ist negativ, die Fläche aber nicht - sie errechnet sich aus dem Betrag des zweiten Teilintegrals.
Insgesamt kommt also
[mm] \bruch{32}{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{3} [/mm] = [mm] \bruch{37}{3} [/mm] FE
heraus.
Merke:
Um aus den Teilintegralen die Fläche zu berechnen, addiere die Beträge der Teilintegrale!
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 07.09.2009 | | Autor: | itil |
hallo,
ja naütrlihc meine ich nicht -2 = 6,3333.. sorry für die zahlenvergewaltigun
d.h. egal ob + oder - herauskommt.. es wird IMMER aus - ein + also immer zusammengerechnet?..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 07.09.2009 | | Autor: | djmatey |
Für die Flächenberechnung schon.
Ein Integral kann schon negativ sein, nur die dazugehörige Fläche nicht. Dazu dreht man das Vorzeichen um, wenn man Flächen berechnet (siehe mein letzter Merksatz). Den Betrag von etwas zu nehmen, bedeutet nur, das entsprechende Vorzeichen positiv zu machen.
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