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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Kannst du mir noch mal bei der Aufgabe 10b auf S. 86 helfen?
Was sind den bei dieser Aufgabe die Schnittpunkte?
Ich weiss, dass ich [mm]x^2[/mm] durch z ersetzen muss, dennoch komm ich da nicht so ganz vorran.
Und bei der 11 hab ich auch noch ein Problem.
Da weiss ich nicht genau, was ich eigentlich machen soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Eva |
Hallo Logan,
wenn Du uns Deine Fragestellung abtippst, können auch noch andere, außer Marc Dir helfen.
Kannst Du ja noch nachreichen,
viele Grüße,
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Hatte gerade die ganze Zeit antworten von Marc erhalten bzw. mit ihm die Aufgaben besprochen, ich nehme an, dass ich mich deshalb jetzt nur auf ihn bezogen habe, Sorry.
S. 86 AUfg. 10 b :
Berechne die Fläche zwischen zwei Graphen.
[mm]f(x)= x^4 g(x)= -x^2+2[/mm]
Da habe ich Problem bei den Schnittpunkten.
S. 86 Aufg. 11
Gesucht ist diejenige Stammfunktion von , die an der Stelle a den Funktionswert 0 hat.
a) [mm] f(x)= 3x+4[/mm] a=-3
Bei dieser Aufgabe weiss ich gar nicht was ich machen soll.
S. 74 Aufg. 21
Eine Parabel hat an der Stelle 0 einen Hochpunkt und schneidet die 1. Achse an der Stelle 2. Mit den positiven Koordinatenachsen schließt die Parabel eine Fläche mit dem flächeninhalt 32 ein.
Bestimme die Parabelgleichung.
Muss ich hier auch die Rechnung in Betragstriche setzten?
Das habe ich jetzt nämlich nicht gemacht und habe für [mm]a -5\bruch {1}{3}[/mm] raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Logan!
> Was sind den bei dieser Aufgabe die Schnittpunkte?
> Ich weiss, dass ich [mm]x^2[/mm] durch z ersetzen muss, dennoch
> komm ich da nicht so ganz vorran.
Du kommst doch dann auf
[mm] $x^4 [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] + 2$,
also:
[mm] $x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] -2 = 0$
durch die Substitution [mm] $z:=x^2$ [/mm] die quadratische Gleichung:
[mm] $z^2 [/mm] + z -2 = 0$.
Diese lässt sich mit der $p$-$q$-Formel lösen:
[mm] $z_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}$.
[/mm]
Rechne [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] aus. Sollte eines der [mm] $z_i$ [/mm] negativ sein (und das ist der Fall), dann kannst du diese Lösung verwerfen. In diesem Fall ist eine Rücksubstitution nicht möglich. Andernfalls, d.h. wenn [mm] $z_i$ [/mm] positiv ist, dann führst du eine Rücksubstitution durch:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{z_i}$.
[/mm]
> Und bei der 11 hab ich auch noch ein Problem.
> Da weiss ich nicht genau, was ich eigentlich machen soll?
Die allgemeine Stammfunktion bei dieser Aufgabe lautet:
[mm] $F_C(x) [/mm] = [mm] \frac{3}{2}\, x^2 [/mm] + 4x + C$.
Jetzt ist dasjenige $C$ gesucht mit
$0 [mm] \stackrel{!}{=} F_C(-3) [/mm] = [mm] \frac{3}{2} (-3)^2 [/mm] + 4 [mm] \cdot [/mm] (-3) + C$.
Daraus kannst du sicherlich $C$ berechnen, oder? 
Teile uns dein Ergebnis bitte zur Probe mit.
Zu deiner letzten Frage: Dein Ergebnis stimmt nicht!
Allgemein lautet eine Parabelgleichung
$f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c$.
Aus
$f'(x) = 2ax + b$ und $f'(0)=0$ folgt:
$0 = f'(0) = b$.
Andererseits soll $f(2)=0$ gelten, also:
$0 = f(2) = [mm] a\cdot 2^2 [/mm] + c = 4a + c$,
also:
$c = -4a$.
Wir erhalten also bis hierhin:
$f(x) = [mm] ax^2 [/mm] -4a$.
Da in $0$ ein Hochpunkt vorliegt, muss $a<0$ gelten.
So, nun kommen wir zu der Bedingung:
$32 = [mm] \vert \int_0^2 (ax^2 [/mm] - [mm] 4a)\, [/mm] dx [mm] \vert.$ [/mm]
Rechnen wir die rechte Seite aus, so folgt:
$32 = [mm] \vert \frac{8}{3}a [/mm] - 8a [mm] \vert$ [/mm] .
Da $a<0$ ist, ist der Term unter dem Integral größer als $0$. Wir können also (an dieser Stelle! ) die Betragsstriche weglassen:
$32 = [mm] \frac{8}{3}a [/mm] - 8a = - [mm] \frac{16}{3}a$.
[/mm]
Daraus folgt:
$a=-6$ und damit [mm] $c=(-4)\cdot(-6)=24$.
[/mm]
Dies gesuchte Parabelgleichung ist demnach:
$f(x) = [mm] -6x^2 [/mm] + 24$.
Melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Das hab ich auch raus.
War mir halt nur nicht sicher ob ich da irgendwo Betragstriche setzen muss.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 23.05.2004 | | Autor: | Logan |
Eine Frage hätte ich doch noch zu deiner Lösung und zwar zu der lösung zu meiner zweiten Frage.
Wieso fügst du ein C bei der Stammfunktion hinzu?
Wenn ich eine Stammfunktion einer Funktion bilden soll, füg ich nie ein C bzw. eine Variable hinzu.
Beispiel:
[mm]f(x)= x^2+x+1[/mm]
Stammfunktion: [mm]F(x)= \bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x[/mm]
Wieso muss ich also bei der anderen das C hinzufügen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Eine Frage hätte ich doch noch zu deiner Lösung und zwar zu
> der lösung zu meiner zweiten Frage.
> Wieso fügst du ein C bei der Stammfunktion hinzu?
> Wenn ich eine Stammfunktion einer Funktion bilden soll,
> füg ich nie ein C bzw. eine Variable hinzu.
Hat dir das dein Nachhilfelehrer nicht erklärt? Tsts.
Es ist so: Es gibt immer nicht nur einer Stammfunktion zu einer Funktion, sondern unendlich viele. Diese unterscheiden sich aber nur durch eine additive Konstante, eben das $C$.
Das liegt im wesentlichen daran:
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion, wenn gilt: $F'(x)=f(x)$ (Seite 81).
Deswegen ist auch die Funktion $G(x)=F(x)+C$ eine Stammfunktion, denn auch für G gilt ja: $G'(x)=(F(x)+C)')=F'(x)=f(x)$, da die additive Konstante durch's Ableiten wegfällt.
Was ich dir hier gerade erzähle, steht übrigens auch in deinem Buch auf Seite 82, Satz 2:
"Zwei Stammfunktionen [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] von f ... unterscheiden sich nur um eine addtive Konstante.
> Beispiel:
> [mm]f(x)= x^2+x+1[/mm]
> Stammfunktion: [mm]F(x)= \bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x[/mm]
Das ist richtig, aber dies ist also nur eine Stammfunktion von vielen; besser wäre es also zu schreiben:
$F(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+C$
[/mm]
So hätte man alle denkbaren Stammfunktionen angegeben.
Es stimmt aber auch, dass man zum Lösen von Integralen nur eine beliebige der vielen Stammfunktionen benötigt, deswegen nimmt man der Einfachheit halber eben die mit C=0 bzw. verzichtet ganz auf dessen Angabe
> Wieso muss ich also bei der anderen das C hinzufügen?
Hier bei dieser Aufgabe war ja gerade eine bestimmte Stammfunktion G der unendlich vielen gesucht, nämlich die, "die an der Stelle a den Funktionswert 0 hat", für die also gilt: $G(a)=0$. Deswegen bestimmt man zunächst eine beliebige Stammfunktion $F(x)$ (wie du das halt immer gemacht hast), dann ist ja
$G(x)=F(x)+C$ ebenfalls eine Stammfunktion und hat dann:
$G(a)=F(a)+C$
[mm] $0\stackrel{!}{=}F(a)+C$
[/mm]
$C=-F(a)$
Also ist $G(x)=F(x)-F(a)$ die gesuchte Stammfunktion.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 23.05.2004 | | Autor: | Logan |
Ok,
das hätte ich dann auch verstanden.
Nur noch mal eben zurück zu den Betragstrichen.
Anscheinend muss ich die ja immer setzten, wenn ich eine Fläche berchne.
Es gibt doch aber auch eine anndere Methode.
Und zwar muss ich doch nur wissen, welcher Graph oberhal verläuft.
Das kann ich doch irgendwie durch den y-Wert herausfinden.
Kann mir jemand sagen, wie ich das genau machen muss.
Das mit dem Setzen von Betragstrichen verwirrt mich nähmlich ein wenig.
ich blicke da irgendwie nicht durch. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Logan,
> Ok,
> das hätte ich dann auch verstanden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur noch mal eben zurück zu den Betragstrichen.
> Anscheinend muss ich die ja immer setzten, wenn ich eine
> Fläche berchne.
> Es gibt doch aber auch eine anndere Methode.
> Und zwar muss ich doch nur wissen, welcher Graph oberhal
> verläuft.
Ja, klar. Wenn innerhalb des Integrationsbereichs $[a,b]$ (der ja jeweils durch zwei Schnittstellen begrenzt sein sollte) der Graph f oberhalb von g verläuft, dann ist natürlich $f(x)-g(x)>0$ an jeder Stelle $x\in[a,b}$ und somit ebenfalls das Integral:
$\integral_a^b f(x)-g(x)\ dx>0$
Dann weißt du sozusagen schon vorher, dass du auf die Betragstriche verzichten kannst.
> Das kann ich doch irgendwie durch den y-Wert
> herausfinden.
Das geht zwar, und ich sage dir auch wie, ich würde es aber nicht mache. Das ist viel komplizierter.
Das Setzen von Betragsstrichen ist bei der Flächenberechnung wirklich nur (r)eine Formalität, dir du dir unbedingt aneignen solltest.
Betrachte doch mal ein Flächenstück (sagen wir, es hätten einen Inhalt von 37), dass durch die beiden (benachbarten) Schnittstellen a und b begrenzt wird. Wenn du Betragstriche setzt, mußt du dir keine Gedanken machen, welcher Graph nun oberhalb des anderen verläuft, du kannst einfach schreiben:
$\left|\integral_a^b f(x)-g(x)\ dx\right|=\left|\ldots\right|=\left|-37\right|=37$
Genauso gut hättest du auch schreiben können:
$\left|\integral_a^b g(x)-f(x)\ dx\right|=\left|\ldots\right|=\left|37\right|=37$
> Kann mir jemand sagen, wie ich das genau machen muss.
Okay, zum Vergleich jetzt die Vorgehensweise ohne Betragstriche.
Wir müssen ermitteln, ob f ober- oder unterhalb g im Intervall $[a,b]$ verläuft. Da f und g innerhalb von $[a,b]$ keine Schnittstellen haben, reicht es, die Funktionswerte von f und g an einer einziger Stelle zu vergleichen. Die kannst du dir frei wählen, sie muss nur innerhalb des Intervalls $(a,b)$ liegen. Ich nenne sie $c\in(a,b)$.
Wenn nun gilt $f(c)>g(c)$, dann verläuft f oberhalb g (über dem Intervall $[a,b]$), ansonsten unterhalb.
Dementsprechend berechnet du dann das Integral
$\integral_a^b f(x)-g(x)\ dx$, falls f oberhalb.
bzw.
$\integral_a^b g(x)-f(x)\ dx$, falls f unterhalb
Sich das aber vorher zu überlegen, finde ich sehr viel komplizierter, als einfach sorglos drauf los zu rechnen und ganz am Ende dann den Betrag des Ergebnisses zu nehmen...
> Das mit dem Setzen von Betragstrichen verwirrt mich
> nähmlich ein wenig.
Ich hoffe, jetzt nicht mehr
> ich blicke da irgendwie nicht durch.
Jetzt?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 So 23.05.2004 | | Autor: | Logan |
> Sich das aber vorher zu überlegen, finde ich sehr viel
> komplizierter, als einfach sorglos drauf los zu rechnen und
> ganz am Ende dann den Betrag des Ergebnisses zu nehmen...
Gut aber angenommen ich berchne:
[mm]\integral_{0}^{2} (ax^2-4a)\, dx=32[/mm]
Am Ende hab ich dann:[mm]\left | -5\bruch{1}{3}a \right | =32[/mm]
Kann ich die Betragstriche an dieser Stelle jetzt weglassen oder nicht?
Muss das jetzt positiv sein oder nicht?
Kann ich jetzt einfach c berchen (c=-4a).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 23.05.2004 | | Autor: | Logan |
> Sich das aber vorher zu überlegen, finde ich sehr viel
> komplizierter, als einfach sorglos drauf los zu rechnen und
> ganz am Ende dann den Betrag des Ergebnisses zu nehmen...
Gut aber angenommen ich berchne:
[mm]\integral_{0}^{2} (ax^2-4a)\, dx=32[/mm]
Am Ende hab ich dann:[mm]\left | -5\bruch{1}{3}a \right | =32[/mm]
Kann ich die Betragstriche an dieser Stelle jetzt weglassen oder nicht?
Muss das jetzt positiv sein oder nicht?
Kann ich jetzt einfach c berchen (c=-4a).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Gut aber angenommen ich berchne:
> [mm]\integral_{0}^{2} (ax^2-4a)\, dx=32[/mm]
> Am Ende hab ich
> dann:[mm]\left | -5\bruch{1}{3}a \right | =32[/mm]
> Kann ich die
> Betragstriche an dieser Stelle jetzt weglassen oder
> nicht?
> Muss das jetzt positiv sein oder nicht?
Da liegt wieder ein Verwirrung vor.
Dein anfängliches Integral hat doch gar keine Betragstriche, also werden für die gesamte Rechnung keine Betragstriche benötigt.
Ist die Aufgabe aber: Das eingeschlossene Flächenstück zwischen den benachbarten Schnittstellen 0 und 2 hat den Inhalt 32, dann mußt du bereits mit Betragstrichen ansetzen:
[mm]\left|\integral_{0}^{2} (ax^2-4a)\, dx\right|=32[/mm]
und diese auch bis zum Schluß mitziehen.
Die Logik ist doch: Gesucht ist ein a, so dass das Integral den Wert +32 oder -32 annimmt, weil dann doch die Fläche den Inhalt 32 hat.
[mm] $\gdw\ \left|\left[ a*\bruch{1}{3}*x^3-4ax\right]_0^2\right|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left|a*\bruch{1}{3}*2^3-4a*2 - 0\right|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left|a*\bruch{8}{3}-8a\right|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left|-\bruch{16}{3}a\right|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left|\bruch{16}{3}a\right|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{16}{3}|a|=32$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] |a|=6$
[mm] $\gdw\ [/mm] a=6\ [mm] \vee\ [/mm] a=-6$
> Kann ich jetzt einfach c berchen (c=-4a).
Moment, du bearbeitest doch die dritte/letzte Aufgabe, oder?
Warum willst du da eine bestimmte Stammfunktion (mit C=-4a wählst du ja eine bestimmte Stammfunktion aus) berechnen? Davon steht doch nichts in der Aufgabe.
Und für das Integral reicht es, eine beliebige Stammfunktion zu benutzen.
Außerdem macht deine Frage doch überhaupt keinen Sinn, du hast doch bereits eine Stammfunktion oben berechnet und ausgewertet, sonst kämst du doch nicht auf [mm]\left | -5\bruch{1}{3}a \right | =32[/mm] (s.o.)?! Verstehe deine Frage also wieder mal nicht.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 23.05.2004 | | Autor: | Logan |
Nein nicht die letzte Aufgabe.
Ich meinte die Aufgabe 21 auf S. 74.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Nein nicht die letzte Aufgabe.
> Ich meinte die Aufgabe 21 auf S. 74.
die meine ich auch, da es die letzte der Aufgaben ist, die du hier in diesem Strang angegeben hast.
Viele Grüße,
Marc
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