www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungFlächenberechnung/Einteilung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integralrechnung" - Flächenberechnung/Einteilung
Flächenberechnung/Einteilung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Flächenberechnung/Einteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 So 17.12.2006
Autor: Maggons

Aufgabe
Zu jedem k > 0 ist eine Funktion [mm] f_{k}(t) [/mm] durch

[mm] f_{k}(t) [/mm] = [mm] 80*e^{k*t}-\bruch{1}{3}*e^{2k*t} [/mm] ; t [mm] \in \IR [/mm]

c) Die t- Achse und der Graph von [mm] f_{k} [/mm] begrenzen eine bis "ins Unendliche reichende" Fläche.
Berechnen Sie die Gleichung der zur t- Achse senkrechten Geraden G, die diese Fläche in zwei Teilflächen unterteilt, sodass der Inhalt der linken Teilfläche 3 mal so groß ist wie der Inhalt der rechten Teilfläche.

Huhu also irgendwo habe ich scheinbar im Lösungsansatz einen Fehler oder ich bin zu dumm die Gleichung bis zum Ende aufzulösen.

Die Nullstelle der Funktion befindet sich bei [mm] \bruch{ln(240)}{k}. [/mm]

Habe erstmal die komplette Fläche ausgerechnet, also

[mm] \integral_{-\infty}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt} [/mm]

, da bekomme ich dann [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] heraus, weil [mm] -\infty [/mm] zu 0 wird, habe ich mir jedenfalls so gedacht.

Dann habe ich mir nun überlegt eine beliebige Intervallsgrenze t' zu bilden und die in das Integral einzusetzen:

[mm] \integral_{t'}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt} [/mm] =

[mm] \bruch{9600}{k} [/mm] -  [mm] (\bruch{80*e^{k*t'}}{k} [/mm] -  [mm] \bruch{e^{2k*t'}}{6k}) [/mm]


Hier angekomme wollte ich nun einfach die Gesamtfläche in [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4} [/mm] einteilen, dann wäre die soeben errechnete Fläche also:

[mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] = [mm] \bruch{2400}{k} [/mm]

Nun wollte ich das Ergebnis des Integrals gleichsetzen mit diesem Ergebnis, jedoch bekomme ich per Hand keinen Wert für t':

[mm] \bruch{2400}{k} [/mm] = [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] -  [mm] (\bruch{80*e^{k*t'}}{k} [/mm] -  [mm] \bruch{e^{2k*t'}}{6k}) [/mm]

Dann bekomme ich es selbst durch

- Multiplizieren mit k

- Multiplizieren mit 6

- Subtraktion von 57600

in diese Form:

[mm] -480*e^{k*t'} [/mm] - [mm] e^{2k*t'} [/mm] = -43200

Mit dem Taschenrechner bekomme ich ausgehend von der Anfangsgleichung

t'= [mm] \bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k} [/mm] ~ [mm] \bruch{4,35015}{k} [/mm]

und ausgehend von meiner letzten Gleichung

t'= [mm] \bruch{ln(360*3*\wurzel{2}-4)}{k} [/mm] ~ [mm] \bruch{4.46993}{k} [/mm]

raus, daher habe ich zwar das Ergebnis (glaube ich...), aber ich will es auch per Hand ausrechnen können :/

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand die Differenz der beiden Ergebnisse erklären könnte, da ich alle meine Rechenschritte mit TR überprüft habe und alle meine Schritte meiner Meinung nach korrekt ausgeführt sind.

Zudem würde ich gerne noch wissen, wie ich meinen zuletzt angegeben Schritt umformen kann, so dass ich auf keiner Seite eine Gleichung mit + oder - habe und somit ln benutzen kann.

Logarithmusgesetz 3 scheint mir nahe zu liegen, aber ich weiß es einfach nicht :(

Mit freundlichen Grüßen

Maggons

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 So 17.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Maggons!


Zum Bestimmen / Lösung Deiner Gleichung solltest Du bedenken, dass gemäß MBPotenzgesetzen gilt:

[mm] $e^{2k*t'} [/mm] \ = \ [mm] e^{(k*t')*2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{k*t'} \ \right)^2$ [/mm]


Damit kannst Du in Deiner Gleichung $z \ := \ [mm] e^{k*t'}$ $\gdw$ [/mm]   $t' \ = \ [mm] \bruch{\ln(z)}{k}$ [/mm] substituieren.
Die entstehende quadratische Gleichung in $z_$ wird dann gelöst z.B. mit der MBp/q-Formel.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 So 17.12.2006
Autor: Maggons

Ohwei das war natürlich dumm von mir nicht an die Substitution zu denken :(

Vielen vielen Dank Loddar, dass du mir da weiter geholfen hast!

Bin dann nun durch Einsetzen auf:

[mm] (z+240)^{2} [/mm] = 100800

gekommen.

Daraus folgt dann, dass z= [mm] 120*\wurzel{7}-240 [/mm] ist.

Das negative Ergebnis schließe ich einfach aus, weil man negative Werte nich logarithmieren kann.

Dann setze ich z in meine Substitutionsgleichung ein:

[mm] e^{k*t'}=120*\wurzel{7}-240 [/mm]

und forme es durch ln und /k zu

t' = [mm] \bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k} [/mm] um, was ich ja durch den Taschenrechner zuvor ebenfalls als Ergebnis errechnet bekommen habe, damit sollte das so richtig sein.


Nur habe ich nun ein Problem :

Wenn ich das t' in mein Integral einsetze, kommt nicht der Wert raus, der raus kommen sollte; damit scheint es wohl leider falsch zu sein :(

[mm] \integral_{\bruch{ln(120*(\wurzel{7}-2))}{k}}^{\bruch{ln(240)}{k}}{f_{k}(t) dt} [/mm]

= [mm] \bruch{4401,57}{k} [/mm]

Und es sollte ja eigentlich nur [mm] \bruch{1}{4} [/mm] der Gesamtfläche
A = [mm] \bruch{9600}{k} [/mm]  sein,

sprich [mm] \bruch{2400}{k}. [/mm]

Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen? War es vielleicht sogar der falsche Lösungsansatz?

Ich hoffe auf die Richtigkeit von [mm] \bruch{9600}{k} [/mm] als Flächeninhalt der Funktion oberhalb der t- Achse, weil sonst wäre ja quasi alles falsch :(
Ich habe bereits oben erläutert, wie ich darauf gekommen bin. Hoffe nochmals auf eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen

Maggons

Bezug
                        
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 So 17.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Maggons!


Da musst Du irgendwo einen Rechenfehler eingebaut haben. Ich erhalte mit Deinem Ergebnis auch exakt die gewünschte Fläche:

[mm] $A_{\text{neu}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9600}{k}-\bruch{80}{k}*\left(120\wurzel{7}-240\right)-\bruch{1}{6k}*\left(120\wurzel{7}-240\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}*\left[9600-9600\wurzel{7}+19200-\bruch{1}{6}*\left(100800-57600\wurzel{7}+57600\right)\right] [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{2400}{k}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 So 17.12.2006
Autor: Maggons

Hm ich habe die beiden Werte auch, wie du, per Hand ausgerechnet und bin (für mich) erstaunlicher Weise wirklich auch auf [mm] \bruch{2400}{k} [/mm] gekommen.

Wenn ich es einzeln in meinen Taschenrechner einsetze, bekomme ich auch stetig ein anderes Ergebnis. Aber naja das soll mir einfach mal egal sein.

Nur, nun habe ich noch ein Problem:

Ich bin ja von einer Parallele zur y- Achse ausgegangen; nur wie kann ich die Gleichung dafür angeben? Weil es müsste ja x= sein und nicht y= :(

Da wäre ja nicht jedem x- wert genau ein y- wert zugeordnet, sondern einem x- wert alle y- werte :/ darf man also überhaupt eine Senkrechte benutzen?

Mit freundlichen Grüßen

Maggons

Bezug
                                        
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Senkrechte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 17.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Maggons!


> Ich bin ja von einer Parallele zur y- Achse ausgegangen;
> nur wie kann ich die Gleichung dafür angeben? Weil es
> müsste ja x= sein und nicht y= :(

[ok] Jede Parallele  zur y-Achse (im [mm] $\IR^2$ [/mm] ) wird dargestellt durch die Vorschrift $x \ = \ a$ .

  

> Da wäre ja nicht jedem x- wert genau ein y- wert
> zugeordnet, sondern einem x- wert alle y- werte :/ darf man
> also überhaupt eine Senkrechte benutzen?

Ja, man darf eine solche Senkrechte nutzen. Wir jhaben hier dann ahlt einen "sehr eingeschränkten" Definitionsbereich, in dem lediglich ein einziger Wert enthalten ist.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Flächenberechnung/Einteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 So 17.12.2006
Autor: Maggons

Ok dann gilt nun einfach für mich

G = x = t'

Vielen Dank für deine Hilfe Loddar :)

Ciao

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]