Flächenberechnung Ellipse < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:23 Do 06.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zu berechnen ist der Flächeninhalt einer Ellipse, also das Integral
[mm] \integral_{\mathbb R^2 } \chi_{E} dxdy [/mm]
für [mm] E = \{ ( x,y ) \in \mathbb R^2 & | & \bruch{x^2}{a^2} + \bruch{y^2}{b^2} \le 1 \} [/mm]
(i) Mit Hilfe des Cavalierischen Prinzipes.
(ii) Mit Hilfe der Transformationsformel ( hierbei darf das Maß der Einheitskreisscheibe als bekannt vorausgesetzt werden ) |
Hallo alle zusammen!
Ich war leider in der Woche, wo dies in der Vorlesung besprochen wurde nicht anwesend und komme überhaupt nicht zurecht mit der Aufgabe :-(.
Zu (i) haben wir den folgenden Satz aufgeschrieben:
Seien [mm] ( X, \mathcal A , \mu ), & ( X', \mathcal A' , \mu' ) \sigma [/mm] - endliche Maßräume. Dann gilt:
Es gibt auf [mm] ( X \times X' , \mathcal A \otimes \mathcal A' ) [/mm] genau ein Maß [mm] \mu \otimes \mu' [/mm] , genannt Produktmaß,
[mm] \mu \otimes \mu' : \mathcal A \otimes \mathcal A' \to \left[0, \infty \right] [/mm]
mit
[mm] \mu \otimes \mu' (A \times A' ) = \mu (A) \cdot \mu' (A') [/mm]
falls [mm] A \in \mathcal A [/mm] und [mm] A' \in \mathcal A' [/mm].
Für M [mm] \in \mathcal A \otimes \mathcal A' [/mm] gilt:
[mm] \mu \otimes \mu' [/mm] (M) = [mm] \integral_X [/mm] ( [mm] \integral_{X'} \chi_{M} [/mm] (x,x') [mm] d\mu' [/mm] ) [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_{X'} [/mm] ( [mm] \integral_X \chi_{M} [/mm] (x,x') [mm] d\mu [/mm] ) d [mm] \mu' [/mm] [/mm]
Leider versteh ich das Prinzip garnicht und weiß auch nicht, wie ich ansetzen soll.... Es wurde auch bis jetzt kein Beispiel in der Voresung gerechnet.. Sorry, dass ich diesmal nicht soviel alleine dazu beitragen kann.. Ich hoffe jemand kann mit behilflich sein..
Zu (ii) habe ich nur die Transformationsformel.. Hier kann ich auch leider nichts dazu wirklich sagen... Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Danke schonmal für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe mich jetzt seit gestern intensiver in dieses Thema eingelesen ( mit Hilfe von verschiedener Literatur ) und denke, dass ich jetzt diese Aufgabe alleine lösen kann. Falls ich Schwierigkeiten bekommen sollte, dann werde ich mich nochmal melden!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich arbeite gerade frühere Übungsaufgaben nochmal durch und bin gerade wieder bei dieser Aufgabe! Ich habe hier ein Lösung aus der Übungsgruppe und habe einige Fragen diesbezüglich!
Hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann!
(i) Als erstes fixieren wir ein [mm] y \in \mathbb R [/mm].
Dann ist
[mm] M_y = \{ x | - a \wurzel{ 1- ( \bruch{y}{b})^2 } \le x \le a \wurzel{ 1- ( \bruch{y}{b})^2 } \} [/mm]
Dann ist
[mm] [mm] \mu [/mm] ( [mm] M_y [/mm] ) = [mm] \left\{\begin{matrix}
2a \wurzel{ 1- ( \bruch{y}{b})^2 } , & \mbox{wenn } y \in \left[ -b, b \right] \\
0, & \mbox{sonst}
\end{matrix}\right. [/mm]
Wenn wir nun das Cavalierische Prinzip anwenden, berechnet sich das Volumen von E durch:
[mm] \integral_Y ( \integral_X \chi_E (x,y) dx ) dy [/mm]
[mm] = \integral_Y \mu (M_y ) dy = \integral_{-b}^{b} 2a \wurzel{ 1- ( \bruch{y}{b})^2 } dy [/mm]
[mm] 2a \integral_{ \bruch{- \pi }{2} }^{ \bruch{ \pi }{2} } \wurzel{ 1 - \sin^2 (t) } \cos(t) \cdot b dt [/mm]
[mm] = 2ab \integral_{ \bruch{- \pi }{2} }^{ \bruch{ \pi }{2} } \cos^2 (t) dt = \pi ab [/mm]
So, das habe ich soweit verstanden. Nur eine Frage:
Bei diesem Prinzip halte ich grundsätzlich immer erstmal eine Variable fest und forme die Menge nach der anderen um?
Und wie mache ich das, wenn ich im [mm] \mathbb R^3 [/mm] bin ?
(ii) Dieselbe Aufgabe soll nun mit Hilfe der Transformationsformel gelöst werden.
So, dies ist die mir zur Verfügung stehede Lösung und um ehrlich zu sein, versteh ich diese nicht!
Sei [mm] \phi : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, & (x,y) \to (ax,by ) [/mm].
Dies ist ein Diffeomorphismus mit
[mm] D_{ \phi } = \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \phi^{-1} (E) = \{ (x,y) \n \mathbb R^2 | \phi (x,y) \in E \} [/mm]
[mm] = \{ (x,y) | \bruch{ (ax)^2 }{a^2 } + \bruch{ (bx)^2 }{b^2 } \le 1 \} [/mm]
[mm]= \{ (x.y) | x^2 + y^2 \le 1 \}[/mm]
Dann ist
[mm] \integral_E \chi_E dxdy = \integral_{ \phi^{-1} (E) } \chi_E ( \phi(x,y) \cdot det( D_\phi ) dx dy [/mm]
[mm] = ab \integral_S \chi_S ( x,y) dxdy = ab \pi [/mm]
Dabei ist S die Einheitskreisscheibe!
So, ich versteh als erstes nicht warum wir diesen Diffeomorphismus gewählt haben und warum das einer ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 07.02.2008 | | Autor: | abakus |
Ich weiß ncht, ob dir das hilft, aber man kann die Aufgabe anschaulich und ohne jedes Integral lösen.
Stell dir vor, du hast ein Rechteck der Seitenlängen a und b mit dem Flächeninhalt ab.
Jetzt lässt du die Höhe b konstant und ziehst die Breite a weiter auseinander auf k*a.
Dann ist der neue Flächeninhalt k*ab.
Eine Ellipse kann man sich vorstellen als einen Kreis mit dem Radius a, den man nur in eine Richtung langgezogen hat:
Der Streckungsfaktor entspricht dabei den Verhältns aus der großen und kleinen Halbachse.
Vor dem "Langziehen" war der Inhalt des Kreises [mm] \pi*a^2, [/mm] hinterher ist der Inhalt der Ellipse [mm] \bruch{b}{a}*\pi*a^2 [/mm] .
Vielleicht lässt sich das irgendwie auf die Theorie aus der Vorlesung übertragen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Als erstes Danke für den Beitrag!
Anschaulich kann ich mir das ein wenig vorstellen, da ich weiß, dass der Wert der Determimante irgendwie die Volumenverzerrung ist.
Aber ich habe immernoch Probleme mit dem Diffeomorphismus? Warum dies einer ist und warum wir gerade den benutzen?
Denn in der Klausur müsste ich in der Lage sein selber auf einen zu kommen :-(.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo,
> Hallo!
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> Als erstes Danke für den Beitrag!
> Anschaulich kann ich mir das ein wenig vorstellen, da ich
> weiß, dass der Wert der Determimante irgendwie die
> Volumenverzerrung ist.
> Aber ich habe immernoch Probleme mit dem Diffeomorphismus?
> Warum dies einer ist und warum wir gerade den benutzen?
>
> Denn in der Klausur müsste ich in der Lage sein selber auf
> einen zu kommen :-(.
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
was ist denn das problem? Wie kannst du einen einheitskreis in eine ellipse mit achsen laengen a und b verformen? Indem du ihn mit der unter der Trafo
[mm] $\phi(x,y)=\begin{pmatrix}ax\\by\end{pmatrix}$
[/mm]
abbildest. dadurch wird er kreis in die x-richtung um faktor a und in die y-richtung um faktor b gestreckt. Mehr steckt nicht dahinter.
Die Trafo-formel sagt nun: wenn du eine trafo [mm] $\phi:\Omega\to\phi(\Omega)$ [/mm] hast, dass
[mm] $\int_{\phi(\Omega)} f(x)\,dx=\int_\Omega f(\phi(y)) |\det D\phi |\,dy$ [/mm]
Bei dir ist [mm] \Omega [/mm] der kreis, [mm] $\phi(\Omega)$ [/mm] die ellipse und $f=1$ konstant bzw. die charakteristische funktion. Die Trafo-formel reduziert sich also darauf, die funktionaldeterminante von [mm] \phi [/mm] zu berechnen und die ist gleich $ab$.
gruss
matthias
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