Flächenberechnung in Abhängigk < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 17.02.2006 | | Autor: | ghl |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Inhalt A der Fläche, welche über dem Intervall [0;10] zwischen dem Graphen der Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{64} (ax-8)^{2} [/mm] (a>0) und der x-Achse liegt, in Abhängigkeit von a. Untersuchen Sie anschließend, für welchen Wert des Parameters a der Inhalt minimal wird. |
Hallo Freunde der Oberstufenanalysis,
für mich ist diese, wie unsere Lehrerin sagte, lösbare Aufgabe recht schwierig. Ich habe zunächst einmal das Integral bestimmt und kam da auf [mm] \integral_{0}^{10}{\bruch{1}{64} (ax-8)^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{64} [/mm] * [mm] \bruch{(10a-8)^3}{3a}
[/mm]
Wie muss ich weiterrechnen und was muss beim zweiten Aufgabenteil gemacht werden?????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 17.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi,
wenn Du korrekt die Stammfunktion gebildet hättest, wärest Du mit Teil 1 schon fertig. Was da steht ist ja eine Formel für den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von a. Setze ein bestimmtes a ein und Du erhältst als Ergebnis den resultierenden Flächeninhalt.
Aber das Integral ist falsch.
Du kannst doch die quadrierte Klammer nicht einfach so "aufleiten". Auch z.B. beim Ableiten müsstes Du ja die Kettenregel anwenden...
Für's Bilden der Stammfunktion ist es hier am Besten, die Klammer erstmal auszumultiplizieren (Binomische!) und dann die drei Summanden einzeln "aufzuleiten".
Mit der korrekten Stammfunktion erhältst Du dann
$A(a) = [mm] \bruch{1}{64} \left(\bruch{1000}{3}a^2 - 800a + 640\right) [/mm] = [mm] \bruch {125}{24}a^2 [/mm] - [mm] \bruch{25}{2}a [/mm] +10$
(wenn jetzt nicht ich mich verrechnet habe)
Dafür bestimmst Du dann das Minimum, den Tiefpunkt.
Hth,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Fr 17.02.2006 | | Autor: | arual |
Hallo!
Ich hab das auch mal durchgerechnet und komme auch auf A(a)=125/24a²-25/2a+10. Also nicht verrechnet. ;)
Nur falls du nicht weiterweißt: Jetzt musst du die erste Ableitung bilden, nullsetzen, a ausrechnen und dann an der zweiten Ableitung prüfen.
LG arual
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