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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 10.12.2006 | | Autor: | Velvet |
| Aufgabe | Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
[mm] f(x)=x^3-4x [/mm] ; [mm] g(x)=x^2-4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
mir ist der Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe bekannt, jedoch habe ich schon beim ersten Schritt der Schnittstellenbestimmung Probleme.
Ich muss die beiden gegebenen Funktionen gleichsetzen, um die Schnittstellen zu finden.
[mm] x^3-4x=x^2-4 (-x^2, [/mm] +4)
[mm] x^3-x^2-4x+4=0
[/mm]
Das eigentliche Ziel ist die Gleichung in die pq-Normalform zu bringen, allerdings kann ich wegen der "4" nicht ausklammern, was ich normalerweise getan hätte.
Deshalb habe ich es mit der 1.Ableitung versucht
[mm] 3x^2-2x-4 [/mm] (:3)
pq-Formel [mm] x^2 [/mm] -2/3x -4/3
Nach der pq-Formel habe ich unter der Wurzel (16/9 - 4/3) stehen und da die Wurzel aus 4/9 irgendeine lange Dezimalzahl ist, kann das Ergebnis nicht stimmen!
Kann mir vielleicht jemand bitte weiterhelfen? Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 10.12.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo velvet,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> mir ist der Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe bekannt,
> jedoch habe ich schon beim ersten Schritt der
> Schnittstellenbestimmung Probleme.
>
> Ich muss die beiden gegebenen Funktionen gleichsetzen, um
> die Schnittstellen zu finden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist schon mal richtig.
>
> [mm]x^3-4x=x^2-4 (-x^2,[/mm] +4)
>
> [mm]x^3-x^2-4x+4=0[/mm]
>
> Das eigentliche Ziel ist die Gleichung in die pq-Normalform
> zu bringen, allerdings kann ich wegen der "4" nicht
> ausklammern, was ich normalerweise getan hätte.
Bei einer allgemeinen Gleichung dritten Grades wird das mit der pq-Normalform auch nicht immer klappen - da muss man dann einen kleinen Umweg gehen. DAzu gleich mehr.
> Deshalb habe ich es mit der 1.Ableitung versucht
>
> [mm]3x^2-2x-4[/mm] (:3)
>
> pq-Formel [mm]x^2[/mm] -2/3x -4/3
>
> Nach der pq-Formel habe ich unter der Wurzel (16/9 - 4/3)
> stehen und da die Wurzel aus 4/9 irgendeine lange
> Dezimalzahl ist, kann das Ergebnis nicht stimmen!
Da hast Du recht! Dein Ansatz besagt, dass die Funktionen f und g an der Stelle x den gleichen Funktionswert haben. Das bedeutet aber noch lange nicht, dass dort dann auch die Ableitungen gleich sein müssen - und das wäre ja die Aussage, wenn Du die Gelichung einfach ableitest.
Wie kommt man dann auf die Lösung?
Wenn man eine Gleichung 3. Grades nicht durch einfache Umformungen (wie z.B. Ausklammern) auf einen kleineren Grad reduzieren kann, dann versucht man in der Regel, erst mal eine Lösung zu erraten. In der Schul funktioniert das meistens (so sind die Aufgaben ja gebaut), probiere doch einfach mal ein paar der ganzen Zahlen von -4 bis 4 durch!
Hat man nun die erste Lösung gefunden (z.B. a), dann kann man durch Polynomdivision den Grad der verbleibenden Gleichung um 1 reduzieren:
[mm](x^3-x^2-4x+4):(x-a)=????[/mm]
Ist a Lösung, dann geht die Polynomdivision immer auf und man kann die ursprüngliche Gleichung schreiben als
[mm](????)*(x-a)=0[/mm]
Und dann findet man weitere Lösungen, indem man ????=0 betrachtet.
Versuch das einfach mal!
Gruß
piet
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