Flächenextrema < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Icyangel |
Hi!
Zuersteinmal:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
so, naja, ich schreibe am MO eine wichtige Matheklausur und komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe sogar die Lösung dazu, komme aber immer auf ein anderes Ergebnis.
Die Aufgabe lautet:
Durch y=(x-t)² ist für jeden Wert von t eine Parabel gegeben, die zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=0 und x=6 eine Fläche begrenzt. Für welchen Wert von t ist diese Fläche am kleinsten? Welchen Inhalt hat sie in diesem Fall?
Im Lösungsbuch steht: A(t) = 1/3 (6-t)³ + 1/3t³
ich sitze schon 2 stunden an dieser aufgabe und komme einfach nicht weiter
ich habe einmal x integriert, einmal t, beides geht nicht. wer kann mir bitte bitte helfen?
ich bin echt schon am verzweifeln..
liebe grüße,
verena
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Hallo Verena!
> Die Aufgabe lautet:
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> Durch y=(x-t)² ist für jeden Wert von t eine Parabel
> gegeben, die zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit
> den Gleichungen x=0 und x=6 eine Fläche begrenzt. Für
> welchen Wert von t ist diese Fläche am kleinsten? Welchen
> Inhalt hat sie in diesem Fall?
>
> Im Lösungsbuch steht: A(t) = 1/3 (6-t)³ + 1/3t³
So, das ist doch eine Standard-Extremwertaufgabe - weißt du denn, wie solche Aufgaben allgemein gehen? Sonst müsstest du dir das erst nochmal genau angucken.
Ich weiß nicht, warum du nur schreibst, dass du integriert hast, hast du vorher nichts anderes gemacht? Du müsstest doch erstmal die Schnittpunkte mit den beiden Geraden berechnen, damit du die Integrationsgrenzen findest.
Und vielleicht zeichnest du die Funktion mal für ein t, dann kannst du dir die Fläche vielleicht besser vorstellen.
Ansonsten wäre es schön, wenn du mal deine Überlegungen bzgl. Nebenbedingungen und was so alles dazu gehört, postest, dann können wir dir besser helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Icyangel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie Du ja schon richtig erkannst hast, wird zur Flächenberechnung unter Funktionen die Integralrechnung benötigt.
Für eine Fläche unter einer Funktion f(x) gilt doch:
$ A = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx}$.
Für eine Flächenberechnung brauchen wir also eine Funktion f(x): die haben wir.
Ebenso benötigen wir das Intervall [a; b], für welches die Fläche berechnet werden soll.
Diese Intervallgrenzen a bzw. b sind doch auch gemäß Aufgabenstellung gegeben.
Wenn Du also (nach x) integrierst und die Grenzen einsetzt, erhältst Du auch die vorgegebene (Zwischen-)Lösung für die Fläche in Abhängigkeit von dem Parameter t:
$A(t) = [mm] \bruch{1}{3}*(6-t)^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*t^3$
[/mm]
Für diese Funktion musst Du nun eine "ganz normale" Extremwertberechnung durchführen.
Ich denke, nun kommst Du klar ...
Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Icyangel |
Hey, vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Nur ist es leider so, dass ich auf diese Zwischenformel gar nicht komme. Wie ich dann weiterrechnen müsste, wüsste ich, nur auf die Formel komm ich eben nicht.. muss man denn dafür die binomische Formel ausrechnen? Ich habe auch meinen Bruder um Rat gefragt, der meinte, man müsste es mit Substitution rechnen, aber das hatten wir noch gar nicht.
Ich habe leider wirklich keinerlei Ahnung :(
Lieben Gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 So 21.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Schönen guten Morgen,
damit Du exakt auf die genannte Zwischenlösung in der dargestellten Form kommst, wäre das Verfahren mit Substitution am ratsamsten.
Wenn Ihr das aber noch nicht hattet, solltest Du - wie angedeutet - die "Quadratklammer" nach der binomischen Formel auflösen und anschließend integrieren.
Nach dem Einsetzen der Integralgrenzen erhältst Du dann Deine Funktion A(t).
Um Dein Ergebnis mit der gegebenen Zwischenlösung vergleichen zu können, musst bei Du bei dieser die Klammer ebenfalls ausrechnen und etwas zusammenfassen.
Dieses Ergebnis macht sich dann für die Extremwertberechnung sogar etwas einfacher ...
Probier das doch einfach mal ...
Grüße + ein schönes Wochenende
Loddar
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