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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Jojo18 |
| Aufgabe | Flächeninhalt
f(x) = x [mm] *e^{2-x} [/mm] |
Hallo,
ich haben für diese Funktion f(x) = x [mm] *e^{2-x} [/mm] bereits die Funktionsuntersuchung durchgeführt, nun soll ich noch den Flächeninhalt bestimmen.
Und da komme ich nicht weiter.
Wie finde ich bei dieser Funktion die Stammfuntion, wenn meine untere Grenze 0 ist, aber meine pbere Grenze undendlich ist, weil sich der Graph der x_achse nur annähert, sie aber nicht berührt.
Dankeschön für jede Antwort
Gruß
Jojo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Jojo,
> Flächeninhalt
> f(x) = x [mm]*e^{2-x}[/mm]
> Hallo,
> ich haben für diese Funktion f(x) = x [mm]*e^{2-x}[/mm] bereits die
> Funktionsuntersuchung durchgeführt, nun soll ich noch den
> Flächeninhalt bestimmen.
> Und da komme ich nicht weiter.
> Wie finde ich bei dieser Funktion die Stammfunktion, wenn
> meine untere Grenze 0 ist, aber meine obere Grenze
> unendlich ist, weil sich der Graph der x_achse nur
> annähert, sie aber nicht berührt.
Nun:
(1) Die Bestimmung einer Stammfunktion hat überhaupt nichts mit den Grenzen zu tun! Du musst also zunächst [mm] \integral{x*e^{2-x}dx} [/mm] berechnen.
Das geht am besten mit partieller Integration aber auch über den Ansatz:
F(x) = [mm] (ax+b)*e^{2-x}.
[/mm]
Zur Kontrolle: [mm] \integral{x*e^{2-x}dx} [/mm] = [mm] (-x-1)*e^{2-x} [/mm] + c
(2) Nun kannst Du Dich um die Grenzen kümmern.
Da die eine davon Unendlich ist, handelt es sich um ein "uneigentliches Integral", welches Du mit Hilfe der Grenzwertrechnung lösen musst:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}[(-x-1)*e^{2-x}]_{0}^{b}
[/mm]
Schaffst Du's nun?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Jojo18 |
Erstmal Dankeschön!
Aber etwas habe ich noch nicht verstanden,
wieso wrd bei der partiellen Integration x zu (-x-a) um die Stammfunktion auszurechnen?
Lieben Gruß
Jojo
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Hi, Jojo,
> Aber etwas habe ich noch nicht verstanden,
> wieso wird bei der partiellen Integration x zu (-x-a) um
> die Stammfunktion auszurechnen?
Das hast Du falsch verstanden!
Ich hab' Dir ZWEI verschiedene Methoden genannt, mit deren Hilfe Du das Integral berechnen kannst:
(1) Mit part. Int. (hier nimmst Du u(x)=x und v'(x) = [mm] e^{2-x} [/mm] ...)
(2) Mit Hilfe des Ansatzes F(x) = [mm] (ax+b)*e^{2-x}
[/mm]
(Der kommt durch eine kleine Überlegung zustande:
Da jede Ableitung von [mm] f(x)=x*e^{2-x} [/mm] genau wie die Funktion selbst vom Typ
" linearer Term mal [mm] e^{2-x} [/mm] "
ist, muss dies auch für die Stammfunktion gelten!)
Mit
F'(x) = f(x)
und anschließendem Koeffizientenvergleich hast Du die Stammfunktion wie ich finde noch "eleganter" bestimmt als durch part.Int.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Jojo18 |
Das hat mir sehr geholfen! Dankeschön!! :)
Liebe Grüße
Jojo
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