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| Aufgabe | Beweise:
unter allen umfangsgleichen rechtecken besitzt das quadrat den größten flächeninhalt. |
Dafür würde ich gerne den Höhensatz des Euklid verwenden:
-In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das quadrat über der höhe dieselbe flächengröße wie das rechteck aus den beiden hypotenusenabschnitten.-
(Dabei ist zu beachten, dass beim Höhensatz die hypotenuse des rechtw. dreiecks mit dem halben umfang des rechtecks übereinstimmt)
aber wie soll ich das ganze beweisen?
bitte gebt mir einen kleinen anstoß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isabell!
Ich würde hier ohne Geometrie vorgehen:
[mm] $$u_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ 2*a+2*b$$
[mm] $$A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ a*b$$
Nun die Umfangsformel nach $b \ = \ ...$ umstellen und in die Flächenformel einsetzen. Damit erhältst Du eine quadratische Funktion $A(a) \ = \ ...$ , deren Scheitelpunkt Du nun ermitteln musst.
Gruß
Loddar
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U =2a + 2b /-2a
U-2a= 2b /:2
[mm] \bruch{U}{2}-a=b
[/mm]
A=a*b
$ [mm] A=a\cdot{}(\bruch{U}{2}-a) [/mm] $
[mm] A=\bruch{U}{2}a-a^{2
}
[/mm]
Wie ermittel ich denn den scheitelpunkt? ich versteh das nicht.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 17.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> U =2a + 2b /-2a
> U-2a= 2b /:2
> [mm]\bruch{U}{2}-a=b[/mm]
>
>
> A=a*b
> [mm]A=a\cdot{}(\bruch{U}{2}-a)[/mm]
> [mm]A=\bruch{U}{2}a-a^{2
}[/mm]
> Wie ermittel ich denn den scheitelpunkt? ich versteh
> das nicht.....
>
Hier gibt es zwei Möglichkeiten:
1.:
Du Formst die Gleichung der Parabel [mm] A(a)=\bruch{U}{2}a-a²
[/mm]
in die Scheitelpunktform um, also hier:
A(a)=b(x-d)²+e. b, d und e musst du hier ermitteln.
Dann ist S(d/e) der Scheitelpunkt.
2.:
Du nutzt die Eigenschaft, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau zwischen den Nullstellen der Funktion [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] liegt. Also:
[mm] a_{s}=\bruch{a_{1}+a_{2}}{2}
[/mm]
Somit wäre dann der Scheitelpunkt [mm] S(a_{s}/A(a_{s}))
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isabell!
Hattet ihr denn schon die Differenzialrechnung mit Berechnung von Extrema (mit Ableitungen etc.)? Dann kann man das für diese Funktion ebenfalls anwenden.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Man hat mir die Anmerkung gegeben :
Dabei ist zu beachten, dass beim Höhensatz die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit dem halben Umfang des Rechtecks übereinstimmt. |
Aufgrund der Anmerkung gehe ich davon aus, dass ich dafür einen geometrischen Beweis liefern soll. also lassen wir Scheitelpunkt, Differenzialrechnung.....mal weg.
ich bin daher immer noch dafür, Euklid zu verwenden, hab leider aber keine Ahnung wie das geht.
ich bitte um Hilfe
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> Man hat mir die Anmerkung gegeben :
>
> Dabei ist zu beachten, dass beim Höhensatz die Hypotenuse
> des rechtwinkligen Dreiecks mit dem halben Umfang des
> Rechtecks übereinstimmt.
> Aufgrund der Anmerkung gehe ich davon aus, dass ich dafür
> einen geometrischen Beweis liefern soll. also lassen wir
> Scheitelpunkt, Differenzialrechnung.....mal weg.
>
> ich bin daher immer noch dafür, Euklid zu verwenden, hab
> leider aber keine Ahnung wie das geht.
Hallo isabell,
ich bin auch dafür, dass man geometrische Aufgaben
nicht immer gleich in rechnerische umsetzen soll.
Gegeben sei also eine Strecke u, die dem Umfang
eines Rechtecks entsprechen soll: $\ u=2a+2b$.
Dann ist [mm] \bruch{u}{2}=s=a+b. [/mm] Wir zeichnen eine Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm]
der Länge $\ [mm] s=\bruch{u}{2}$.
[/mm]
Diese Strecke s soll nun durch einen gewissen
Teilungspunkt T in zwei Teilstrecken der Längen
a und b geteilt werden:
[mm] $\overline{PT}\ [/mm] =a\ [mm] ,\quad \overline{TQ}\ [/mm] =b\ [mm] ,\quad \overline{PQ}=\overline{PT}+\overline{TQ}=a+b=s$
[/mm]
Nun ist die Frage:
Wo auf der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] soll man den Punkt T
setzen, damit das Rechteck mit den Seitenlängen a und b
möglichst grossen Flächeninhalt bekommt. Der Flächen-
inhalt $\ A$ eines solchen Rechtecks ist $\ A=a*b$ . Und nun
kommt der Höhensatz zum Zug: Die Rechtecksfläche
$\ A$ entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates,
dessen Seitenlänge der Höhe [mm] \overline{TR} [/mm] des über der Hypotenuse [mm] \overline{PQ}
[/mm]
errichteten rechtwinkligen Dreiecks PQR entspricht.
Konstruiere dir mal eine komplette Figur dazu.
Dann wirst du wohl leicht merken, wo der Punkt T
liegen muss, um A möglichst gross zu machen.
Gruß al-Chw.
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