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| Aufgabe | Es schneiden sich 2 Kreise in einem Koordinatensystem so, dass sie sich in einem Flächeninhalt (A) überlappen. Berechne den Flächeninhalt (A)!
Kreisgleichung1: [mm] 4*x^2+4*y^2-16*x+32*y-24=44
[/mm]
Kreisgleichung2: [mm] x^2+y^2-18*x+6*y=16 [/mm] |
Also ich denke mal die Aufgabe ist relativ verständlich. Es gibt halt 2 Kreise in einem Koordinatensystem welche sich überlappen und ich soll nun irgendwie berechnen wie groß diese Fläche ist.
Also ich hab mir ja da schon Gedanken gemacht aber habe keine Idee wie ich diese umsetzen kann. Ich dachte mir, dass wenn sich die beiden Kreise schneiden die beiden Kreisgleichungen in genau 2 Punkten gleich sein müssen(ansonsten würden sie sich ja nicht schneiden). Ich denke mal, dass das auch der erste Schritt sein wird diese beiden Punkte herauszufinden. So um die beiden Punkte herauszufinden muss ich beide Kreisgleichungen gleichstellen. Blos hier fängt schon das Problem an... Wenn ich die gleichestelle dann bekomme ich doch nur einen der beiden Schnittpunkte heraus, oder?
Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?
Vielen herzlichen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 So 19.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ja gleichsetzen finde ich auch eine gute idee, weiss aber nicht, wozu.
meine idee wäre, als erstes den abstand der beiden kreise zu bestimmen, d.h. mittelpunkte und radien.
wenn ich die mittelpunkte verbinde und die schnittpunkte der beiden kreise mit den mittelpunkten verbinde, erhalte ich ein viereck... vielleicht hilft das weiter...
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 So 19.11.2006 | | Autor: | rahu |
guten morgen,
ich würde hier wie bereits gesagt zunächst die lage der kreise zu bestimmen.
anschließend würde ich die geg. gleinchungen in funktionen umwandeln(pro Gln 2 Fktnen). danach eigentlich den standartweg(Schnittpunkte und integrieren).
viele grüße
ralf
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 So 19.11.2006 | | Autor: | kingkong |
Wie rechne ich denn den Mittelpunkt der beiden Kreise aus und wie verfahre ich weiter? Ich man dann habe ich zwar die beiden Mittelpunkte aber wie ich dann den Flächeninhalt bestimme weiß ich immer noch nicht....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 19.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin kk,
ein paar informationen könntest du dir über wikipedia selbstständig beschaffen, ist doch nur ne knobelaufgabe...
mittelpunkt eines kreises:
M hat die Koordinaten [mm] m_{x} [/mm] / [mm] m_{y} [/mm] bzw. M [mm] (m_{x} [/mm] / [mm] m_{y} [/mm] )
die allgemeine kreisgleichung lautet:
(x- [mm] m_{x} )^2 [/mm] + (y- [mm] m_{y} )^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
beispiel:
[mm] 4x^2 [/mm] -16x [mm] +4y^2 [/mm] +32y -24 =44
muss ich jeweils in die o.g. binomische form bringen, d.h. quadratisch ergänzen.
0. gleichung durch 4 teilen
[mm] x^2 [/mm] -4x [mm] +y^2 [/mm] +8y -6 = 11
1. quadratisch ergänzen
[mm] x^2 [/mm] -4x [mm] +2^2 -2^2 +y^2 [/mm] +8y [mm] +4^2 -4^2 [/mm] -6 = 11
[mm] (x-2)^2 [/mm] -4 + [mm] (y+4)^2 [/mm] -16-6 =11
[mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y+4)^2 [/mm] =37
hier kann ich den mittelpunkt sofort ablesen
M (2 / -4)
und auch den radius
[mm] r^2 [/mm] = 37 => r= [mm] \wurzel{37}
[/mm]
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 19.11.2006 | | Autor: | kingkong |
Okay erstmal danke... Jetzt fehlt mir nur noch der Lösungsansatz wie ich den Flächeninhalt herausfinde....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 So 19.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
der lösungsweg ist doch bereits genannt worden.
wie gesagt die grafische lösung kannst du bereits aus meinem beitrag ermitteln
Kreis 1: [mm] M_{1} [/mm] ( 2 / -4 ) und [mm] r_{1}= \wurzel{37}
[/mm]
für Kreis zwei habe ich (bitte selbst nachrechnen!)
Kreis 2: [mm] M_{2} [/mm] (9 / -3) und [mm] r_{2}= \wurzel{106}
[/mm]
rechnerisch, wie bereits oben gesagt:
1. schnittpunkte ermitteln
=> kreisgleichungen gleichsetzen
[mm] x^2 +y^2 [/mm] -18x +6y -16 = [mm] x^2 [/mm] -4x [mm] +y^2 [/mm] +8y -17
-14x +2y = -1
y= 7x - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
ergebnis in eine kreisgleichung einsetzen:
ich erhalte zwei lösungen (gibt ja auch zwei schnittpunkte!)
[mm] x_{s1}=0,52 x_{s2} \approx [/mm] -0,996
diese beiden ergebnisse eingesetzt in
y=7x - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] y_{s1} \approx [/mm] 3,16 [mm] y_{s2} \approx [/mm] -7,47
... und die beiden x-Koordinaten sind meine Intervallgrenzen für die spätere Flächenberechnung (Integralrechnung)
jetzt muss ich die funktionen ermitteln (s. beitrag oben):
ich löse jede kreisgleichung nach y auf und erhalte zwei lösungen, d.h. jeweils zwei funktionsgleichungen je kreis.
[mm] x^2 +y^2 [/mm] -18x +6y -16 = 0
=> [mm] (y+3)^2 [/mm] + [mm] (x-9)^2 [/mm] = 106
[mm] (y+3)^2 [/mm] = 106 - [mm] (x-9)^2 [/mm] wurzel ziehen
[mm] y_{k11/k12} [/mm] +3 = [mm] \pm \wurzel{106 - (x-9)^2}
[/mm]
[mm] y_{k11/k12} [/mm] +3 = [mm] \pm \wurzel{106 - (x^2-18x +81)}
[/mm]
[mm] y_{k11/k12} [/mm] +3 = [mm] \pm \wurzel{25 - x^2+18x}
[/mm]
[achtung: hier muss 25 [mm] \ge -x^2 [/mm] +18x sein!! ]
beim zweiten kreis genau so...
es hilft, zuerst die beiden kreise zu zeichnen, dann kann man anhand der skizze viele dinge erkennen...
schließlich für die integralrechnung die entsprechende relevante obere funktion von der unteren abziehen und fertig.
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 19.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin kk,
habe die beiden kreise mal gezeichnet. weil es sich um eine knobelaufgabe handelt, kommt eben noch eine komplikation hinzu.
am einfachsten du vertauschst die x- und y-achse [am besten gleich in den kreisgleichungen x durch y ersetzen und y durch x], weil: dann kannst du das gesuchte integral einfach bilden, so wie ich es vorhin skizziert habe.
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mi 22.11.2006 | | Autor: | olajona |
...also ohne integrieren:
Strecke S verbindet die beiden Schnittpunkte der Kreise und teilt zugleich die Schnittfläche in zwei Kreisabschnitte. Diese ergeben sich aus Kreissektor minus Sehnendreieck.
Vom Sehnendreieck hat man die Länge der Sehne (S) sowie die beiden anderen Seiten (nämlich jeweils die Radien der beiden gegebenen Kreise; hier sollten, wie bereits in einem früheren Beitrag empfohlen, die gegebenen Kreisgleichungen jeweils nach y aufgelöst werden, damit man Mittelpunkt und Radius einfacher ablesen kann.
S ergibt sich aus der geläufigen Formel für den Abstand zweier Punkte; 1/2*S (Kathete) und Radius (Hypothenuse) bilden mit der Höhe des Sehnendreiecks (weitere Kathete) ein rechtwinkliges Dreieck, so dass sich die Höhe über Pythagoras ergibt. Hieraus wiederum kann man den Winkel zwischen Radius und Höhe ermitteln, der mit 2 multipliziert den Mittelpunktswinkel ergibt. Über diesen schließlich ergibt sich aus der Beziehung Sektorfläche : Kreisfläche = Mittelpunktswinkel : 360° die Fläche des Kreisabschnitts.
Dies führt zurück zum Anfang: Gesuchte Schnittfläche = Summe der beiden Kreisabschnitte.
Gruß
olajona
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Do 30.11.2006 | | Autor: | olajona |
Hallo Matheraumfahrer,
also, wenn ich auch eine recht gute Idee vom Lösungsweg dieser Sache habe, bin ich doch am Verzweifeln, das die konkreten Werte angeht. So komme ich für den Schnitt der beiden Kreise auf die Schnittstellen [mm] x_{1/2}=\bruch{67\pm\wurzel{7039}}{100}. [/mm] Wenn ich die jedoch in die Kreisgleichungen einsetze, komme ich für einen Wert (+) auf zwei identische, für den anderen Wert (-) auf zwei unterschiedliche Werte für y, die darüber hinaus auch noch von der grafisch gefundenen Lösung (mit ZuL) abweichen. Letztere müsste nach meiner Variante lauten wie aus anliegendem Bild ersichtlich. Kann mir hier jemand helfen und möglicherweise die Werte durch Mathematica laufen lassen, damit ich nicht dumm (und verzweifelt) sterben muss, sondern die Sache mit vernünftigen Werten weiterrechnen kann?
Danke und Gruß
olajona
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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