Flächeninhalt(Parabel+Dreieck) < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Shire |
| Aufgabe | geg.:
- Gleichschenkliges Dreieck mit Basis von 5cm und Höhe von 9,5cm. Definitionsbereich: -2,5 bis 2,5
- Umgekehrte Parabel 2. Grades; Parabeläste schneiden x-Achse an den Eckpunkten des Dreiecks: -2,5 und 2,5
- Schenkel des Dreiecks sind Tagenten der Parabel an -2,5 und 2,5
Aufgabenstellung: Ein Schmuckstück soll ausgestanzt und anschließend einseitig vergoldet werden. Wie groß ist die zu veredelnde Fläche?
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich knoble hier an einer Aufgabe, die mich zum Schwitzen bringt.
Um den Flächeninhalt des Schmuckstücks zu berechnen, brauche ich zu erst den des gesamten Dreiecks: dazu multipliziere ich die Höhe auf der Grundseite, mit der Hälfte der Grundseite: a*b = 2,5*9,5 = 23,75cm²
Also muss ich nun 'nur' noch den Flächeninhalt A(P) der Parabel berechnen und von den 23,75cm² abziehen...fertig.
Aber daran scheitere ich...Die Skizze ist von mir mit Paint gezeichnet, also bitte auch nur als Skizze betrachten. Fest steht: die Parabel ist nicht -x². Also habe ich die allgemeine Form gewählt: y = -ax²+bx+c
Nun kam der Hinweis in der Aufgabenstellung, dass die Schenkel des Dreiecks Tangenten an der Stelle sind, an der die Parabel ihre Nullstellen besitzt. Also habe ich die erste Ableitung der allg. Form gebildet um den Anstieg ausrechnen zu können: y'= -2ax+b
Demnach gilt: b = 2ax bzw. a = b/(2x)
Setze ich nun b ein erhalte ich y' = 0 und bei eingesetztem a folglich: y' = 0
Doch was nun? Ich weiss jetzt: Mein Anstieg ist null...prima -.- Irgendwie nützt mir eine Parallele zur X-Achse aber nix...also mein Bemühen verläuft im Sande.
Kann mir bitte jemand helfen? Das Ziel ist letztlich den Flächeninhalt der Parabel zu berechnen. Auf den Weg dorthin brauche ich die Gleichung der selben...vermeintlich einfach, aber irgendwie haben sich meine Hirnwindungen auf dem Weg verknotet :S
Danke schonmal im Voraus :)
Frank
PS: Aufgabenstellung aus dem Gedächtnis, da sie Teil meiner Mathevorprüfung war, die ich gestern geschrieben habe...das ich diese Aufgabe nicht lösen konnte wurmt mich dermaßen - ich brauch einen Lösungsansatz, sonst kann ich nicht mehr ruhig schlafen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
wie kommst du denn auf das [mm]b[/mm]? Der Anstieg der Schenkel ist doch [mm]\frac{9,5}{2,5}=3,8[/mm] bzw. [mm]\frac{-9,5}{2,5}=-3,8[/mm] also bekommst du ein Gleichungssystem [mm]3,8=2a(-2,5)+b \quad -3,8=2a(2,5)+b [/mm] daraus bestimmst du [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] und setzt in die Gleichung [mm]y'=ax^2+bx+c[/mm] ein. Um c zu berechnen kannst du [mm]y=2,5[/mm] als Nullstelle annehmen.
viel Spaß beim Lösen  Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frank,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die gesuchte Parabel ist doch auch achsensymmetrisch zur y-Achse. Damit kannst Du auch gleich den Term mit ungerader $x_$-Potenz streichen. Es verbleibt also:
$$p(x) \ = \ [mm] -a*x^2+c$$
[/mm]
Damit hast du nun folgende Gleichungen zu lösen:
$$p(2.5) \ = \ 0$$
$$p'(2.5) \ = \ [mm] -\bruch{9.5}{2.5} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{19}{5} [/mm] \ = \ -3.8$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Shire |
Erstmal vielen Dank an euch beide für die schnellen Antworten und fürs Willkommen :)
Also ich kann jetzt den Anstieg bestimmen..9,5/2,5 bzw 9,5/-2,5...der einfachste Weg und ich habe nicht dran gedacht ;)
y'=-2ax+b
3,8=5a+b
a=(3,8-b)/5 da die Parabel augenscheinlich achsenymmetrisch zur y-Achse ist, ist b=0
somit gilt: a=0,76
Probe: y'=-2*0,76*(-2,5)=3,8=3,8
y=ax²+bx+c allg.
y=ax²+c speziell
y=0,76x²+c c=-4,75
das heißt: y=0,76x²-4,75
Doch wenn ich für x 2 einsetze, erhalte ich y=-1,71 . Laut Skizze müsste der Wert aber eindeutig im positiven Bereich liegen. Wo liegt denn da der Fehler? :S
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frank!
Du hast doch Deine Parabele mit $p(x) \ = \ [mm] \red{-}a*x^2+b*x+c$ [/mm] definiert.
Du hast also: $p(x) \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] 0.76*x^2+c$ [/mm] . Damit müsstest Du am Ende auch erhalten $c \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 4.75$ erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Shire |
Ah, das Minus ist in meiner Sauklaue untergegangen - danke für den Hinweis :)
Also ich habe jetzt die quadr. Funktion: y=-0,76x²+4,75
[mm] A(P)=\integral_{-2,5}^{2,5}{-0,76x²+4,75 dx}
[/mm]
A(P)= |-7,9167|
Somit wäre A(Schmuck)=A(D)-A(P)=23,75-7,9167=15,8333cm²
Scheint ein realistischer Wert zu sein :)
Ich muss sagen, dass ich diese Aufgabe auf den ersten Blick vollkommen unterschätzt habe - und selbst ein Wink mit dem Zaunspfahl hat nicht gereicht - ihr habt mich mit dem Pfahl ja nun schon fast erschlagen...aber ein paar Schläge auf den Hinterkopf sollen ja das Denkvermögen verbessern, was ich anscheinend dringend notwendig habe...vielleicht reicht ja aber auch noch etwas Übung ;)
Also nochmal vielen Dank für die schnelle Hilfe und die Geduld an euch beide :)
Shalom
Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frank!
Du scheinst die Werte der Flächen etwas durcheinander geworfen zu haben ...
Es gilt nämlich $A(P) \ = \ [mm] \integral [/mm] ... \ = \ 15.83$ . Und damit für das Schmuckstück $A(S) \ = \ A(D)-A(P) \ = \ 23.75-15.83 \ = \ 7.92$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Shire |
Moment, jetzt bin ich völlig verwirrt:
Wie kommst du für A(P) auf 15,83? Liege ich falsch, wenn ich das Integral so löse?
[mm] [-\bruch{19}{75}x³+4,75] [/mm] in den Grenzen von -2,5 bis 2,5
Da komme ich auf genau die Hälfte deines Wertes, nämlich 7,91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frank!
Du unterschlägst ein $x_$ ...
[mm] $$\integral_{-2.5}^{+2.5}{-0.76*x^2+4.75 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ -\bruch{19}{75}*x^3+4.75*\red{x} \ \right]_{-2.5}^{+2.5} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Shire |
Ah! Ich muss wohl demnächst genauer hinschauen :S
Danke nochmals :)
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