Flächeninhalt einer Kugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Fr 17.12.2010 | | Autor: | rhochi |
| Aufgabe | | Oben auf dem Weihnachtsbaum ist eine Spitze angebracht. Der kugelförmige Teil wird beschrieben durch [mm] \bruch{1}{9} \le x^{2}+y^{2} [/mm] = [mm] -\bruch{11}{16}-z^{2}-3z, [/mm] der obere Teil durch 0 [mm] \le [/mm] z = [mm] 8-8\wurzel[6]{x^{2}+y^{2}}. [/mm] Berechnen Sie den Flächeninhalt des kugelförmigen Teils. |
Hallo,
ich wollte versuchen den Flächeninhalt mit dem Ansatz: [mm] Vol(K)=\integral_{K}{1 d(x,y,z)} [/mm] auszurechnen, aber ich bekomme für x,y und z keine Grenzen ausgerechnet. Und mir ist außerdem noch unklar, wofür man denn die Angabe des oberen Teils braucht.
Kann mir jmd einen Tipp geben, wie man hier weitermacht?
Oder ist mein Ansatz schon von vornerein falsch?
Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Oben auf dem Weihnachtsbaum ist eine Spitze angebracht. Der
> kugelförmige Teil wird beschrieben durch [mm]\bruch{1}{9} \le x^{2}+y^{2}[/mm]
> = [mm]-\bruch{11}{16}-z^{2}-3z,[/mm] der obere Teil durch 0 [mm]\le[/mm] z =
> [mm]8-8\wurzel[6]{x^{2}+y^{2}}.[/mm] Berechnen Sie den
> Flächeninhalt des kugelförmigen Teils.
>
> Hallo,
> ich wollte versuchen den Flächeninhalt mit dem Ansatz:
> [mm]Vol(K)=\integral_{K}{1 d(x,y,z)}[/mm] auszurechnen, aber ich
> bekomme für x,y und z keine Grenzen ausgerechnet. Und mir
> ist außerdem noch unklar, wofür man denn die Angabe des
> oberen Teils braucht.
Mit quadratischer Ergänzung erhält man aus
[mm] \bruch{1}{9} \le x^{2}+y^{2}=-\bruch{11}{16}-z^{2}-3z
[/mm]
die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{9} \le x^{2}+y^{2}=\bruch{25}{16}-(z+1,5)^2
[/mm]
Aus dem Teil [mm] \bruch{1}{9} \le x^{2}+y^{2} [/mm] folgt schon mal, dass auch der untere Teil keine komplette Kugel ist, sondern erst dort beginnt, wo der Grundkreis mindestens den Radius 1/3 hat.
Das, was nach dem Abschneiden der unteren Kugelkappe übrig bleibt, lässt sich erst einmal durch [mm] x^{2}+y^{2}=\bruch{25}{16}-(z+1,5)^2 [/mm] bzw.
[mm] \le x^{2}+y^{2}+(z+1,5)^2=\bruch{25}{16} [/mm] beschreiben
Diese Kugel wird- wie schon gesagt- unten durch eine Ebene beschnitten.
Oben erfolgt die Begrenzung durch den Übergang in den anderen Teilkörper (der ab z=0 definiert ist und für den [mm] x^2+y^2 [/mm] zwischen 0 und 1 liegen kann.)
Mache dir aus diesen Angaben erst einmal die obere Begrenzung klar.
x und y würde ich sowieso in Polarkoordinaten umwandeln (der zugegehörige Winkel läuft dabei von 0 bis [mm] 2\pi).
[/mm]
Gruß Abakus
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> Kann mir jmd einen Tipp geben, wie man hier weitermacht?
> Oder ist mein Ansatz schon von vornerein falsch?
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 19.12.2010 | | Autor: | rhochi |
Danke für die Antwort. Sie hat sehr zu meinem Verständnis beigetragen. Jedoch hab ich immer noch Probleme mit der Berechnung.
Aus der Gleichung [mm] x^{2}+y^{2}+(z+1.5)^{2}=\bruch{25}{16} [/mm] folgt doch, dass die Kugel den Mittelpunkt = (0,0,-1.5) und der Radius = [mm] \bruch{5}{2} [/mm] hat. Und da der obere Teil ja erst für z größer gleich Null definiert ist, ist die Kugel, die wir berechnen müssen nicht nach oben beschränkt (habe mit den Angaben dann einfach mal versucht die Kugel zu zeichnen und dann geht die Kugel ja nur bis Z=-0.25).
Nun habe ich mir weiter überlegt, dass ich die obere Gleichung auch nach z auflösen kann [mm] (z=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{-(x^{2}+y^{2})+\bruch{25}{16}}) [/mm] und dann eine Funktion aufstellen kann, die diese Fläche beschreibt: f(x,y)=(x,y,z). Diese Funktion ist von [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR^{3} [/mm] definiert. Nun müsste ich noch eine Definitionsmenge finden und dann mit folgender Definition dann das Integral ausrechnen: Für eine stetig differenzierbare Kurve (auch Fläche genannt) [mm] x:D\subset\IR^{2}\to\IR^{n} [/mm] definiert man den Oberflächeninhalt durch [mm] Vol(x)=\integral_{D}{\pmat{ \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial t} & \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial s} \\ \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial t}& \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial s}} d(t,s)}
[/mm]
Kann ich das so machen?
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Hallo rhochi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für die Antwort. Sie hat sehr zu meinem Verständnis
> beigetragen. Jedoch hab ich immer noch Probleme mit der
> Berechnung.
> Aus der Gleichung [mm]x^{2}+y^{2}+(z+1.5)^{2}=\bruch{25}{16}[/mm]
> folgt doch, dass die Kugel den Mittelpunkt = (0,0,-1.5) und
> der Radius = [mm]\bruch{5}{2}[/mm] hat. Und da der obere Teil ja
> erst für z größer gleich Null definiert ist, ist die
> Kugel, die wir berechnen müssen nicht nach oben
> beschränkt (habe mit den Angaben dann einfach mal versucht
> die Kugel zu zeichnen und dann geht die Kugel ja nur bis
> Z=-0.25).
> Nun habe ich mir weiter überlegt, dass ich die obere
> Gleichung auch nach z auflösen kann
> [mm](z=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{-(x^{2}+y^{2})+\bruch{25}{16}})[/mm]
> und dann eine Funktion aufstellen kann, die diese Fläche
> beschreibt: f(x,y)=(x,y,z). Diese Funktion ist von [mm]\IR^{2}[/mm]
> nach [mm]\IR^{3}[/mm] definiert. Nun müsste ich noch eine
> Definitionsmenge finden und dann mit folgender Definition
> dann das Integral ausrechnen: Für eine stetig
> differenzierbare Kurve (auch Fläche genannt)
> [mm]x:D\subset\IR^{2}\to\IR^{n}[/mm] definiert man den
> Oberflächeninhalt durch [mm]Vol(x)=\integral_{D}{\pmat{ \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial t} & \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial s} \\ \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial t}& \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial s}} d(t,s)}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]Vol(x)=\integral_{D}{\wurzel{\pmat{ \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial t} & \bruch{\partial x}{\partial t}*\bruch{\partial x}{\partial s} \\ \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial t}& \bruch{\partial x}{\partial s}*\bruch{\partial x}{\partial s}}} d(t,s)}[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
Ja, das kannst Du so machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 21.12.2010 | | Autor: | matt101 |
Was haste als ergebnis rausbekommen?
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Hallo matt101,
> Was haste als ergebnis rausbekommen?
Das machen wie hier andersrum.
Poste Du lieber Deine Rechenschritte mit Ergebnis.
Dann überprüfen wir das.
Gruss
MathePower
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