Flächeninhalt eines Dreiecks < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Do 23.02.2012 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] schließen einen Winkel von 60° ein mit a=3 und b=6. Berechnen Sie den Flächeninhalt [mm] F=\bruch{1}{2}|\vec{A}\times\vec{B}| [/mm] des Dreiecks, das von den Vektoren [mm] \vec{A}=\vec{a}-2\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{B}=3\vec{a}+2\vec{b} [/mm] gebildet wird.
Hinweis: Erst symbolisch rechnen und erst dann Zahlenwerte einsetzen! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kann mir vorstellen, wie die Aufgabe zu verstehen ist. Das Kreuzprodukt ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms, die Hälfte ergibt das gesuchte Dreieck.
Mit den Beträgen und dem Winkel kann ich auch das Produkt aus [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] berechnen (bei mir 9).
Dann habe ich versucht die Gleichung jeweils aufzulösen nach den Vektoren ... aber durch einen Vektor (der mir zudem unbekannt ist) zu teilen kam mir komisch vor.
Anderer Ansatz war einfach im Kreuzprodukt die Komponenten zu verwenden, was aber sehr unübersichtlich wurde und mir auch komisch vorkam, da ich ja die einzelnen Werte ebenfalls nicht kenne.
|
|
| |
|
Hallo,
ich will nicht zuviel verraten, sonst würde die fertige Lösung dastehen.
Ich nehme an, es ist
[mm] a=|\overrightarrow{a}| [/mm] bzw.
[mm] b=|\overrightarrow{b}| [/mm] ?
Nutze für diese Aufgabe folgende Eigenschaften des Kreuzproduktes:
i).
[mm] |\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|*sin\phi
[/mm]
ii).
[mm] \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}
[/mm]
iii).
Für das Kreuzprodukt und die Vektoraddition gelten:
- Linksdistributivgesetz:
[mm] \overrightarrow{a}\times{(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}
[/mm]
- Rechtsdistributivgesetz:
[mm] (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}
[/mm]
Außerdem ist das Kreuzprodukt noch assoziativ und alternativ, letzteres werden wir hier auch noch benötigen.
> Dann habe ich versucht die Gleichung jeweils aufzulösen
> nach den Vektoren ... aber durch einen Vektor (der mir
> zudem unbekannt ist) zu teilen kam mir komisch vor.
Das ist auch keine gute Idee: keine der Multiplikationen der Vektoralgebra ist umkehrbar, es existiert also keinerlei Division durch einen Vektor.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Do 23.02.2012 | | Autor: | Lewser |
Ich verstehe nicht ganz, wieso mir das Kreuzprodukt der "gegebenen" Vektoren weiterhilft. Setze ich einfach [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] in das Kreuzprodukt ein?
Und der Zusammenhang zu den Distributivgesetzen erschließt sich mir nicht ganz, da ich ja nur zwei Vektorenbeträge zur Verfügung habe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
setze die Vektoren
[mm] \overrightarrow{A}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{B}
[/mm]
in die Flächenformel ein und wende dann zunächst das Distributivgesetz an. Ich denke, dann wird dir der Sinn meines Tipps klar werden.
Mit den Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] kannst du nicht rechnen, aus dem einfachen Grund, weil sie nicht gegeben sind. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Do 23.02.2012 | | Autor: | Lewser |
Ich habe jetzt die Vektoren eingesetzt und das Distributivgesetz angewandt, was mich verwirrt hat war (und ist) die Tatsache, dass ich ja vier Klammern bekomme und mir war nicht klar, dass ich das Distributivgesetzt einfach so abwandeln darf. Dann habe ich die Skalare ausgeklammert und die Vektoren, die eine Fläche von Null ergeben gestrichen.
Bin damit auch auf die angegebene Lösung gekommen.
Nur zum Verständnis, ich darf aus:
[mm] (\vec{a}-2\vec{b})\times(3\vec{a}-2\vec{b})
[/mm]
diesen Ausdruck machen:
[mm] (\vec{a}\times3\vec{b})-(2\vec{b}\times3\vec{a})-(\vec{a}\times2\vec{b})+(2\vec{b}\times2\vec{a})
[/mm]
?
Das war mein Rechenweg und ich will ausschliessen, dass ich durch Zufall das richtige Ergebnis bekommen habe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast a) falsch gerechnet und b) bist du noch nicht fertig. Ich habe in meiner Antrwort einen Denkfehler gemacht. Das
Alternativgesetz:
[mm] \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}
[/mm]
werden wir benötigen.
Also der richtige Ansatz lautet so:
[mm] F=\bruch{1}{2}*|(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\times{(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*|\overrightarrow{a}\times{3\overrightarrow{a}}+\overrightarrow{a}\times{2\overrightarrow{b}}-2\overrightarrow{b}\times{3\overrightarrow{a}}-2\overrightarrow{b}\times{2\overrightarrow{b}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*|2\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*|2\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*|8\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|
[/mm]
[mm] =4*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|
[/mm]
Den Rest bekommst du jetzt mit der Eigenschaft i) aus meinem ersten Beitrag. Sollte irgendetwas unklar sein, dann frage einfach nach.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Do 23.02.2012 | | Autor: | Lewser |
Absolut nachvollziehbar, allerdings wundert mich, dass ich auf das richtige Ergebnis komme. Mit deiner Rechnung natürlich auch ... es wird wohl ein Zufall sein, da ich bei meinem Rechenweg das Alternativgesetzt nicht beachtet habe, was aber im Falle des Betrages nicht zu Fehlern geführt hat.
Vielen Dankbis hierhin, hat mir sehr geholfen!
|
|
|
|
