Flächeninhalt mit Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 05.12.2004 | | Autor: | Semi85 |
Hi Leute!
Mir fehlt bei dieser Aufgabe irgendwie der Ansatz. Ich schreib erst mal die Aufgabenstellung auf:
[mm] f_{t}(x)= \bruch{1}{4t²}*x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{3}{42}*^x² [/mm] für t [mm] \in \IR^+
[/mm]
Information: Tiefpunkte [mm] T_{1,2}( \pm t*\wurzel{3}/-\bruch{9}{2}*t²
[/mm]
Die Kurve [mm] K_{t} [/mm] begrenzt mit der x-Achse eine Fläche. Berechne deren Inhalt A. In welchem Verhältnis teilt die Ortskurve C der Tiefpunkte diese Fläche? (Exaktes Ergebnis).
Ich weiß wie man Flächen berechnet, aber bin irgendwie verunsichert bei dieser Aufgabe. Berechne ich zuerst die Nullstellen? Was mach ich mit dem t? Wie mache ich das mit dem verhältnis?? Hab echt ein Blackout, komme nicht weiter!
Danke schon mal!
MfG
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Semi85,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> [mm]f_{t}(x)= \bruch{1}{4t²}*x^{4}[/mm] - [mm]\bruch{3}{42}*^x²[/mm] für t [mm]\in \IR^+[/mm]
>
> Information: Tiefpunkte [mm]T_{1,2}( \pm t*\wurzel{3}/-\bruch{9}{2}*t²)[/mm]
Bitte überprüfe doch mal die Aufgabenstellung (Funktionsvorschrift). Die erscheint mir nicht ganz eindeutig.
Ich würde das folgendermaßen interpretieren:
[mm]f_{t}(x) = \bruch{1}{4t^2}*x^{4} - \bruch{3}{42} * x^2[/mm]
Aber dann komme ich nicht auf die gegebenen Tiefpunkte.
Zudem irritiert mich dar Bruch [mm] $\bruch{3}{42}$, [/mm] dann kann man doch erst mal kürzen.
> Die Kurve [mm]K_{t}[/mm] begrenzt mit der x-Achse eine Fläche.
> Berechne deren Inhalt A. In welchem Verhältnis teilt die
> Ortskurve C der Tiefpunkte diese Fläche? (Exaktes
> Ergebnis).
>
>
> Ich weiß wie man Flächen berechnet, aber bin irgendwie
> verunsichert bei dieser Aufgabe. Berechne ich zuerst die
> Nullstellen?
Das ist für die Berechnung der Integrationsgrenzen auf jeden Fall erforderlich.
> Was mach ich mit dem t?
Das t ist ein sog. "Parameter", den wir behandeln wie eine konstante Zahl (d.h. da könnte auch zum Beispiel eine 4 stehen...). Also sollte uns dieses t nicht weiter stören.
Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 So 05.12.2004 | | Autor: | Semi85 |
Sorry!! Habe mich vertippt..
Die Funktion lautet:
[mm] f_{t}(x)=\bruch{1}{4t²}*x^{4}-\bruch{3}{2}*x²
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Wie bereits oben geschildert, benötigen wir für die Flächenberechnung die Integrationsgrenzen, sprich die Nullstellen unsrere gegebenen Funktion.
(Hinweis: Es gibt insgesamt 3 Nullstellen.)
Da es sich bei der geg. Funktion um eine sog. "gerade Funktion" handelt (es treten nur gerade Exponenten auf mit [mm] $x^4$ [/mm] bzw. [mm] $x^2$), [/mm] ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zur Verinfachung betrachten wir nur eine Hälfte der Fläche von [mm] $x_{N1} [/mm] = 0$ bis [mm] $x_{N2} [/mm] = ...$.
Damit können wir über Integration die gesuchte Fläche ermitteln (aller Voraussicht nach in Abhängigkeit von t).
Anschließend berechnen wir die Fläche unter der Ortskurve der Tiefpunkte.
Diese liegen alle auf einer Geraden. <- Käse: siehe unten !!
Um das Verhältnis zu bestimmen, teilst Du einfach die beiden Werte der ermittelten Flächen.
Ich hoffe, nun kommst Du weiter ...
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 05.12.2004 | | Autor: | Semi85 |
Habe jetzt die Fläche berechnet und komme auf
[mm] \bruch{12}{5}t^{3}*\wurzel{6}
[/mm]
Das ist bestimmt falsch oder? Na jedenfalls habe ich als Nullstellen
x=0 [mm] x=\pm\wurzel{6t²}
[/mm]
Ich habe aber keine Ahnung, wie das mit der Ortskurve und dem Verhältnis gehen soll... Bitte hilf mir dabei nochmal, das wäre sehr nett!!
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Hier klären wir erstmal die Nullstellen und den Flächeninhalt, würd ich sagen.
Also für die Nullstellen von [mm]f_t(x)[/mm] hab ich schon mal ein anderes Ergebnis; ich erhalte außer [mm]x_{1,2}=0[/mm] noch [mm]x_{3,4}=\pm t \cdot \wurzel{\bruch{2}{7}}[/mm].
Dann hab ich integriert von [mm]x=0[/mm] bis [mm]x=t \cdot \wurzel{\bruch{2}{7}}[/mm] und habe hier erhalten:
[mm]-\bruch{2}{735} \cdot t^3 \cdot \wurzel{\bruch{2}{7}}[/mm].
Das negative Ergebnis sagt uns, dann die Kurve in diesem Bereich (für positive t) unter der x-Achse verläuft. Wenn wir wirklich den Flächeninhalt wollen, dann muss dieser natürlich positiv sein, also das Minus einfach weglassen.
Die Rechnung dazu habe ich angehängt. Ich hoffe, ich hab mich nirgends verrechnet. Und die Tiefpunkt-Geschichte können wir ja machen, wenn alle anderen Fragen geklärt sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Semi85;
> Habe jetzt die Fläche berechnet und komme auf
> [mm]\bruch{12}{5}t^{3}*\wurzel{6}[/mm]
>
> Das ist bestimmt falsch oder?
Nee, alles OK. Das habe ich auch ermittelt (vorausgesetzt, Du meinst beide Flächen von [mm] $-\wurzel{6}*t$ [/mm] bis [mm] $\wurzel{6}*t$ [/mm] zusammen).
Du müsstest auch ein negatives Ergebnis erhalten haben, das aussagt, daß sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet.
> Na jedenfalls habe ich als Nullstellen
> x=0 [mm]x=\pm\wurzel{6t²}[/mm]
Auch richtig!
>
> Ich habe aber keine Ahnung, wie das mit der Ortskurve und
> dem Verhältnis gehen soll... Bitte hilf mir dabei nochmal,
> das wäre sehr nett!!
Klar doch!! 
Gemäß Aufgabenstellung liegen die Tiefpunkte immer bei [mm] $x_{T1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{3} [/mm] * t$ mit [mm] $y_{T1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] * [mm] t^2$.
[/mm]
Die Tiefpunkte liegen demnach auf folgender Ortskurve, sprich: wenn ich für alle t die Funktionskurven aufzeichnen würde, liegen alle Tiefpunkte auf dieser Ortskurve:
$k(x) = [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] * [mm] x^2$
[/mm]
Für unsere Fläche unter der Ortskurve, die wir (natürlich) mit Integration ermitteln, heißt das:
[mm] $A_k [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {k(x) dx}$
[mm] $A_k [/mm] = [mm] \integral_{-\wurzel{6}*t}^{+\wurzel{6}*t} {(-\bruch{9}{2} * x^2) dx}$
[/mm]
[mm] $A_k [/mm] = [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] * [mm] \integral_{-\wurzel{6}*t}^{+\wurzel{6}*t} {x^2 dx}$
[/mm]
Dieses Integral bestimmen ...
Anschließend den Wert [mm] $\bruch{|A_k|}{|A_f|} [/mm] = [mm] \bruch{|A_k|}{\bruch{12}{5}*\wurzel{6}*t^3} [/mm] = ...$ bestimmen. Fertig!
Alles klar ?!?
Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 05.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Moment mal, jetzt versteh ich aber ne Kleinigkeit nicht:
[mm]x=\pm t\wurzel{6}[/mm] soll ne Nullstelle der Funktion [mm]f_t(x)=\bruch{1}{4t^2} \cdot x^4 - \bruch{1}{14} \cdot x^2[/mm] sein???
[mm]f_t(t \cdot \wurzel{6}) = \bruch{1}{4t^2} \cdot t^4 \cdot 36 - \bruch{1}{14} \cdot t^2 \cdot 6 = 9t^2 - \bruch{3}{7} \cdot t^2 \not= 0[/mm].
Oder hab ich da was falsch verstanden???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo E.Kandrai,
Semi85 hatte sich im 1. Posting vertippt und sich dann korrigiert.
Die Funktion lautet:
[mm]f_t(x)=\bruch{1}{4t^2} \cdot x^4 - \bruch{3}{2} \cdot x^2[/mm]
Siehe auch: Berichtigung
Schönen Abend noch ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 05.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Hi Loddar,
danke für den Hinweis. Bin schon fast durchgedreht, nachdem ich die (ursprüngliche) Aufgabe 3 mal durchgerechnet hab...
Gruß,
e.kandrai
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