Flächeninhalt n-zackiger Stern < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 25.05.2020 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe 1 | a)Welche Flächeninhalte haben die drei n-zackigen Sterne? Die Seitenlänger $a$ aller umbeschriebenen n-Ecke betrage a=1 LE.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
| Aufgabe 2 | | b) Welchen Anteil haben die Flächeninhalte aus Teil a) an den Flächeninhalten der umbeschriebenen n-Ecke? |
| Aufgabe 3 | | c)Bestimme die Verallgemeinerung für den Stern [mm] \{n/k\} [/mm] für beliebige $n$ und $k$ und Seitenlänge a=1 Le des umbeschriebenen n-Ecks. |
Hallo ihr Lieben,
ehrlich gesagt habe ich keine genaue Ahnung wie ich da dran gehen soll.
Uns wurde explizit gesagt, dass wir vorherige Aufgaben nutzen können. Dies war einmla der Beweis von da Vinci des Satzes von Pythagoras und der Flächeninhalt eines Kreises im Zusammenhang mit dem InKreis-Radius.
Meine Idee wäre es (bei dem ersten rötlichen Stern) ich habe die 5-Zacken, die Dreiecke sind und das innenliegende 5-Eck, welches ich in ebenfalls 5 Dreiecke teile. Aber dazu kenne ich ja auch keine Angaben.
Es wäre super toll wenn wir mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte und einen Denkanstoß geben könnte.
Vielen Dank und liebe Grüße
Miri
PS: Bis zur Freigabe meiner Datei habe ich den erste Stern einmal selbst skizziert. Das ist weder schön noch maßstabgetraut oder ordentlich und dient nur der Veranschaulichung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mo 25.05.2020 | | Autor: | statler |
> a)Welche Flächeninhalte haben die drei n-zackigen Sterne?
> Die Seitenlänger [mm]a[/mm] aller umbeschriebenen n-Ecke betrage
> a=1 LE.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
Hallo Miri!
Vielleicht hilft es dir schon etwas, wenn ich dir verrate, daß im regelmäßigen Fünfeck das Verhältnis von Diagonale zu Seite die große Goldene Schnittzahl ist
Soweit erstmal.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 25.05.2020 | | Autor: | Noya |
Hallöchen.
Okay.
Danke.
Dann kann ich meinen Stern ja in ein großes gleichschenkliges
Dreieck teilen, welches das kleine Fünfeck beinhaltet und zwei kleine Dreiecke, also Zacken. Wobei die längste Seite ja gerade eben die Diagonale des Fünfecks ist. ( d=1,618 * a = 1,618)
Und in 3 kleine Dreiecke bzw. Zacken.
Oder denke ich hier wieder falsch? Denn hier wüsste ich wieder nicht wie ich dort Flächeninhalte konstruieren soll?
Irgendwie stehe ich hier total auf dem Schlauch.
Danke für deine Mühe.
Liebe Grüße
Miri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 25.05.2020 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
Unten hat dir HJKweseleit erklärt, wie du meine Aussage herleitest. Damit kannst du alle Streckenlängen in deinem Bild berechnen, und dann mit Pythagoras und evtl. Strahlensatz den ganzen Rest, d. h. die Höhen und Flächen. Es ist einfache Geometrie auf Mittelstufen-Niveau.
Ich kann zur Zeit leider auf diesem Rechner keine Bilder anfertigen und hoffe mal, du kommst so klar.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 25.05.2020 | | Autor: | Noya |
Danke! Ich habe diese Antwort erst danach gesehen.
:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mo 25.05.2020 | | Autor: | Infinit |
Hallo Noya,
mit der Skizze kommt man auch schon weiter. DAS JPEG-Bild lässt sich nicht öffnen, ein Herunterladen und Checken auf meinem Rechner brachte die Fehlermeldung, dass der Dateiheader defekt ist.
Vorschlag: Wir lassen es erst einmal bei Deiner Skizze.
Viele Grüße,
Infinit
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Bild1: Fährt man einmal in Pfeilrichtung um den Rand herum, hat man sich um 360° dabei gedreht, an jeder Ecke also um 72 °(roter Punkt). Dann ist der grüne Winkel jeweils 108°.
Bild 2: AusSymmetriegründen sind die blauen Winkel gleich groß. Sie ergänzen sich mit dem roten auf 180 ° sind also jeweils 36 °.
Bild 3: Da beide blauen Winkel oben je 36 ° sind und der obere Gesamtwinkel 108 °, ist der Winkel in der Mitte ebenfalls 36 °.
Bild4: Daraus ergeben sich alle anderen Winkel.
Bild5: Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich. Daher gilt:
[mm] \bruch{s+2r}{1}=\bruch{1}{r} \Rightarrow rs+2r^2=1
[/mm]
Bild7: Aussymmetriegründen ist r+s=1, also s=1-r
Dies in die vorherige Gleichung einsetzen und lösen. Damit kommst du weiter, da du daraus r und s bestimmen kannst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 25.05.2020 | | Autor: | Noya |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Bild1: Fährt man einmal in Pfeilrichtung um den Rand
> herum, hat man sich um 360° dabei gedreht, an jeder Ecke
> also um 72 °(roter Punkt). Dann ist der grüne Winkel
> jeweils 108°.
>
> Bild 2: AusSymmetriegründen sind die blauen Winkel gleich
> groß. Sie ergänzen sich mit dem roten auf 180 ° sind
> also jeweils 36 °.
>
> Bild 3: Da beide blauen Winkel oben je 36 ° sind und der
> obere Gesamtwinkel 108 °, ist der Winkel in der Mitte
> ebenfalls 36 °.
>
> Bild4: Daraus ergeben sich alle anderen Winkel.
>
Klasse!! Danke! Bis hier hin kann ich dir mega gut folgen.
> Bild5: Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich. Daher
> gilt:
>
Die zwei Dreiecke sind ähnlich, da alle Winkel übereinstimmen.
> [mm]\bruch{s+2r}{1}=\bruch{1}{r} \Rightarrow rs+2r^2=1[/mm]
>
ABER wie kommst du auf diese Zusammenhang?
> Bild7: Aussymmetriegründen ist r+s=1, also s=1-r
Das ist so weil das letzte Bild ein gleichschenkliges Dreieck ist?
>
> Dies in die vorherige Gleichung einsetzen und lösen. Damit
> kommst du weiter, da du daraus r und s bestimmen kannst. +
Ich erhalte damit
[mm] r=\bruch{-1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] s=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
damit könnte ich ja nun mit Hilfe des Satzes von Heron den Flächeninhalt berechnen, oder?
[mm] F=\wurzel{s(s-a)*(s-b)*(s-c)} [/mm] wobei [mm] s=\bruch{a+b+c}{2} [/mm] ist.
wobei ich mir den stern einteile wie in meiner folgenden Skizze : das rosane plus die 3 gelben?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit [mm] F_{rosa}=\bruch{1}{4}* \wurzel{\bruch{1}{2}*(5+\wurzel{5}}
[/mm]
und [mm] F_{gelb}=\bruch{1}{4}* \wurzel{\bruch{1}{2}*(-19+9*\wurzel{5}}
[/mm]
und somit (falls ich mich nicht verrechnet habe)
F= [mm] F_{rosa} +3*F_{gelb} \approx [/mm] 1,0379
ganz vielen lieben Dank schonmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Bild1: Fährt man einmal in Pfeilrichtung um den Rand
> > herum, hat man sich um 360° dabei gedreht, an jeder Ecke
> > also um 72 °(roter Punkt). Dann ist der grüne Winkel
> > jeweils 108°.
> >
> > Bild 2: AusSymmetriegründen sind die blauen Winkel gleich
> > groß. Sie ergänzen sich mit dem roten auf 180 ° sind
> > also jeweils 36 °.
> >
> > Bild 3: Da beide blauen Winkel oben je 36 ° sind und der
> > obere Gesamtwinkel 108 °, ist der Winkel in der Mitte
> > ebenfalls 36 °.
> >
> > Bild4: Daraus ergeben sich alle anderen Winkel.
> >
>
> Klasse!! Danke! Bis hier hin kann ich dir mega gut folgen.
> > Bild5: Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich. Daher
> > gilt:
> >
> Die zwei Dreiecke sind ähnlich, da alle Winkel
> übereinstimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > [mm]\bruch{s+2r}{1}=\bruch{1}{r} \Rightarrow rs+2r^2=1[/mm]
> >
> ABER wie kommst du auf diese Zusammenhang?
In ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich:
[mm] \bruch{Basis}{Schenkel}=\bruch{2r+s}{1} [/mm] im großen [mm] Dreieck=\bruch{1}{r} [/mm] im kleinen Dreieck.
Du kannst auch das große Dreieck als Vergrößerung des kleinen mit einem Faktor v auffassen. Dann kannst du v berechnen entweder als
v=(Basis im großen D.)/(Basis im kleinen [mm] D.)=\bruch{2r+s}{1} [/mm] oder als v=(Schenkel im großen D.)/(Schenkel im kleinen [mm] D.)=\bruch{1}{r}
[/mm]
und dann beides gleichsetzen.
>
> > Bild7: Aussymmetriegründen ist r+s=1, also s=1-r
> Das ist so weil das letzte Bild ein gleichschenkliges
> Dreieck ist?
> >
> > Dies in die vorherige Gleichung einsetzen und lösen. Damit
> > kommst du weiter, da du daraus r und s bestimmen kannst. +
> Ich erhalte damit
> [mm]r=\bruch{-1+\wurzel{5}}{2}[/mm] und [mm]s=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]s=\bruch{3-\wurzel{5}}{2}[/mm] (s kann nicht größer als r sein. Wenn du addierst, kommt jetzt 1 heraus, bei dir nicht.)
]
>
> damit könnte ich ja nun mit Hilfe des Satzes von Heron den
> Flächeninhalt berechnen, oder?
DAS IST EINE SUPER IDEE! Darauf wäre ich gar nicht gekommen.
Wegen des Fehlers bei s oben rechne ich das nicht nach. Du musst aber aufpassen: Da ich den Buchstaben s oben für etwas anderes benutzt habe, kannst du leicht durcheinander kommen!
>
> [mm]F=\wurzel{s(s-a)*(s-b)*(s-c)}[/mm] wobei [mm]s=\bruch{a+b+c}{2}[/mm]
Mach so:
[mm]F=\wurzel{t(t-a)*(t-b)*(t-c)}[/mm] wobei [mm]t=\bruch{a+b+c}{2}[/mm], dann ist die "Unfallgefahr" nicht so hoch.
>
> wobei ich mir den stern einteile wie in meiner folgenden
> Skizze : das rosane plus die 3 gelben?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Auch das ist eine super Idee.
Zur Kontrolle: Rosa Fläche: [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{\wurzel{5}+5}{2}} \approx [/mm] 0,475, ein gelber Zacken: [mm] \bruch{1}{8}\wurzel{50-22\wurzel{5}} \approx [/mm] 0,113
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 26.05.2020 | | Autor: | Noya |
> >
> > ABER wie kommst du auf diese Zusammenhang?
>
> In ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse
> gleich:
>
> [mm]\bruch{Basis}{Schenkel}=\bruch{2r+s}{1}[/mm] im großen
> [mm]Dreieck=\bruch{1}{r}[/mm] im kleinen Dreieck.
>
Klasse.Danke. Da habe ich nicht dran gedacht ... :D
> Du kannst auch das große Dreieck als Vergrößerung des
> kleinen mit einem Faktor v auffassen. Dann kannst du v
> berechnen entweder als
>
> v=(Basis im großen D.)/(Basis im kleinen
> [mm]D.)=\bruch{2r+s}{1}[/mm] oder als v=(Schenkel im großen
> D.)/(Schenkel im kleinen [mm]D.)=\bruch{1}{r}[/mm]
>
>
>
> und dann beides gleichsetzen.
>
> >
> > > Bild7: Aussymmetriegründen ist r+s=1, also s=1-r
> > Das ist so weil das letzte Bild ein gleichschenkliges
> > Dreieck ist?
> > >
> > > Dies in die vorherige Gleichung einsetzen und lösen. Damit
> > > kommst du weiter, da du daraus r und s bestimmen kannst. +
> > Ich erhalte damit
> > [mm]r=\bruch{-1+\wurzel{5}}{2}[/mm] und
> [mm]s=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{3-\wurzel{5}}{2}[/mm] (s kann nicht größer als r
> sein. Wenn du addierst, kommt jetzt 1 heraus, bei dir
> nicht.)
grrr. doof verrechnet... :D
> ]
> >
> > damit könnte ich ja nun mit Hilfe des Satzes von Heron den
> > Flächeninhalt berechnen, oder?
>
>
> DAS IST EINE SUPER IDEE! Darauf wäre ich gar nicht
> gekommen.
>
Wie hättest du das denn gemacht?
> Wegen des Fehlers bei s oben rechne ich das nicht nach. Du
> musst aber aufpassen: Da ich den Buchstaben s oben für
> etwas anderes benutzt habe, kannst du leicht durcheinander
> kommen!
>
>
>
> >
> > [mm]F=\wurzel{s(s-a)*(s-b)*(s-c)}[/mm] wobei [mm]s=\bruch{a+b+c}{2}[/mm]
>
>
> Mach so:
> [mm]F=\wurzel{t(t-a)*(t-b)*(t-c)}[/mm] wobei [mm]t=\bruch{a+b+c}{2}[/mm],
> dann ist die "Unfallgefahr" nicht so hoch.
>
>
>
>
> >
> > wobei ich mir den stern einteile wie in meiner folgenden
> > Skizze : das rosane plus die 3 gelben?
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Auch das ist eine super Idee.
>
>
> Zur Kontrolle: Rosa Fläche:
> [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{\wurzel{5}+5}{2}} \approx[/mm] 0,475,
> ein gelber Zacken: [mm]\bruch{1}{8}\wurzel{50-22\wurzel{5}} \approx[/mm]
> 0,113
>
Klasse danke! Das habe ich auch raus :)
und ingesamt
[mm] F=F_{rosa}+3*F_{gelb} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{5-2*\wurzel{5}} \approx [/mm] 0,812
>
>
zu b)
b) Welchen Anteil haben die Flächeninhalte aus Teil a) an den Flächeninhalten der umbeschriebenen n-Ecke?
Das 5-Eck habe ich mit Hilfe der Formel berechnet :
[mm] F_{fünfeck}= \bruch{1}{4}\wurzel{25+10*\wurzel{5}} *a^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{25+10*\wurzel{5}} \approx [/mm] 1,72
und dann nimmt der Stern 47,21 % des Flächeninhaltes des 5-Ecks ein.
Ist das so korrekt?
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> > > damit könnte ich ja nun mit Hilfe des Satzes von Heron den
> > > Flächeninhalt berechnen, oder?
> >
> >
> > DAS IST EINE SUPER IDEE! Darauf wäre ich gar nicht
> > gekommen.
> >
>
> Wie hättest du das denn gemacht?
Da du Pythagoras erwähnt hast: Man kann zu jedem der gleichschenkligen Dreiecke die Höhe auf der Basis mit Pythagoras berechnen, dann g*h/2.
Falls du das ganze "Wurzelgemüse" nicht brauchst (beim 7-Eck gibt es das auch nicht) kommst du am einfachsten mit Sinus- und Kosinussatz weiter, da du Winkel und/oder Längen kennst. Wenn du zwei Seiten a und b und den von ihnen eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] kennst, ist der Flächeninhalt des Dreiecks
[mm] a*b*sin(\alpha)/2.
[/mm]
> Klasse danke! Das habe ich auch raus :)
>
> und ingesamt
> [mm]F=F_{rosa}+3*F_{gelb}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{5-2*\wurzel{5}} \approx[/mm] 0,812
> >
> >
>
> zu b)
> b) Welchen Anteil haben die Flächeninhalte aus Teil a) an
> den Flächeninhalten der umbeschriebenen n-Ecke?
>
> Das 5-Eck habe ich mit Hilfe der Formel berechnet :
>
> [mm]F_{fünfeck}= \bruch{1}{4}\wurzel{25+10*\wurzel{5}} *a^2[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{25+10*\wurzel{5}} \approx[/mm] 1,72
>
>
> und dann nimmt der Stern 47,21 % des Flächeninhaltes des
> 5-Ecks ein.
> Ist das so korrekt?
>
Alle Berechnungen sind richtig!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 26.05.2020 | | Autor: | Noya |
Hallo
[Dateianhang nicht öffentlich]
So. Beim zweiten Gebilde haben wir ein 7-Eck und den innenligenden Stern. Wieder super schön von mir skizziert. Alle roten Zacken sind gleich groß.
Mit der Erklärung von gerade erhalte ich die Winkel
[mm] \alpha [/mm] = 128,57
[mm] \beta [/mm] = 51,43
[mm] \gamma [/mm] = 25,71
wieder die ähnlichen Dreiecke
und
[mm] r==\bruch{-1+\wurzel{5}}{2} [/mm]
[mm] s=\bruch{3-\wurzel{5}}{2} [/mm]
so nun kommt mein Problem.
Vorhin habe ich mir das schön in mehrere Dreiecke teilen können. Aber wie gehe ich nun hier vor um den Flächeninhalt zu bestimmen?
Vielen Dank und liebe Grüße
Miri
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 26.05.2020 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> So. Beim zweiten Gebilde haben wir ein 7-Eck und den
> innenligenden Stern. Wieder super schön von mir skizziert.
> Alle roten Zacken sind gleich groß.
>
> Mit der Erklärung von gerade erhalte ich die Winkel
> [mm]\alpha[/mm] = 128,57
> [mm]\beta[/mm] = 51,43
> [mm]\gamma[/mm] = 25,71
>
> wieder die ähnlichen Dreiecke
> und
>
> [mm]r==\bruch{-1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
> [mm]s=\bruch{3-\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> so nun kommt mein Problem.
Ich glaube, dein Problem kommt schon 2 Zeilen früher. Wo siehst du denn die ähnlichen Dreiecke, aus denen du r und s bestimmst?
Wenn die Seitenlänge a = 1 ist und r und s wie oben wären, dann könnte man das regelmäßige 7eck mit Zirkel und Lineal konstruieren*, was aber bekanntlich nicht der Fall ist.
* Aus a und 2r + s könnte ich nämlich ein gleichschenkliges Dreieck mit [mm] $\alpha$ [/mm] als Innenwinkel konstruieren und damit dann das ganze Siebeneck.
Ich vermute mal, daß wir hier den Taschenrechner brauchen:
Man könnte z. B. die Fläche des 7ecks aus der Fläche eines Innendreiecks berechnen, weil wir da die Grundseite (= 1) und alle Winkel kennen. Und davon ziehen wir die außenliegenden stumpfwinkligen Dreiecke mit der gleichen Grundseite ab.
Nach meinen schnellen Rechnungen ist für den Umkreis A [mm] $\approx$ [/mm] 4,17, für das 7eck A [mm] $\approx$ [/mm] 3,63 und für den Stern A [mm] $\approx$ [/mm] 2,79.
Nachtrag: [Dateianhang nicht öffentlich]
Das Viereck MBCA ist ein Siebtel deines Sterns, du kennst alle Winkel und [mm] $\overline{BA}$ [/mm] = 1. Damit kommst du deinem Problem trigonometrisch bei.
Gruß aus HH
Dieter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 26.05.2020 | | Autor: | Noya |
Ich seh gerade, dass ich das falsche Bild hochgeladen habe. Da fehlen noch ein paar Kennzeichnungen und so.
Korrigiere ich gleich nochmal mit der ausführlicheren Idee... aber anscheinend ist das ja falsch.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
1. Teilbild: Außen 360°/7=51 3/7°, daher innen 128 4/7 °. Bleiben für die beiden gleichgroßen spitzen Winkel zusammen wieder 51 3/7°, für jeden also 25 5/7°.
2. Bild: (rechts oben) Aus Symmetriegründen kommen jetzt die beiden 25 5/7°-Winkel bei den 128 4/7 ° zusammen, so dass in der Mitte noch 77 1/7° verbleiben. (unten) Das innere reguläre 7-Eck hat natürlich auch innen überall 128 4/7°, damit ist der Winkel in der Zacke innen wieder 51 3/7°.
3. Bild: Es gibt nur die 3 verschiedenen Längen 1, a und b. Aus den Winkeln und der Länge 1 lassen sie sich mit dem Sinus leicht berechnen, indem man die beiden roten Höhen in Bild 2 benutzt:
sin( [mm] \bruch{128 \bruch{4}{7}}{2})= \bruch{ \bruch{1}{2}}{a} \bruch{}{}, [/mm] also [mm] a=\bruch{ \bruch{1}{2}}{sin( 64 \bruch{2}{7})} \approx [/mm] 0,554958
sin( [mm] \bruch{77 \bruch{1}{7}}{2})= \bruch{ \bruch{1}{2}b}{a} [/mm] , also b=2*a*sin(38 [mm] \bruch{4}{7}) \approx [/mm] 0,692021.
Damit lassen sich nun alle Zacken a-a-b und die freibleibenden Dreiecke mit den Seiten a-a-1 berechnen:
Seite1*Seite2*sin(Winkel zwischen diesen beiden Seiten)/2
Wie berechnet man nun aber das innere 7-Eck?
Wir bezeichnen den Flächeninhalt einer Zacke a-a-b mit Z und eines Dreiecks a-a-1 mit D.
Das innere 7-Eck ist dem äußeren ähnlich. Seine Seitenlängen wurden sozusagen von 1 auf b gekürzt. Verkürzt man in einer ähnlichen Figur alle Seiten um den Faktor b, so verkleinert sich seine Fläche um den Faktor [mm] b^2. [/mm] (Deshalb kommen beim Quadrat der Faktor [mm] a^2 [/mm] und beim Kreis der Faktor [mm] r^2 [/mm] ins Spiel)
Hat also das Gesamte 7-Eck den Flächeninhalt S, so hat das innere den Flächeninhalt [mm] b^2 [/mm] S. Damit gilt:
[mm] b^2 [/mm] S+7Z+7D=S oder [mm] 7Z+7D=S-b^2 S=(1-b^2)S [/mm] und damit
[mm] S=\bruch{7Z+7D}{1-b^2}. [/mm]
Das innere und das äußere 7-Eck müssen gar nicht direkt mit Hilfe von Teilflächen ausgerechnet werden, das innere ergibt sich dann wieder als [mm] b^2 [/mm] S.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Da dein Bild immer noch gesperrt ist, weiß ich nicht, was n und k bedeuten. Ich gehe von einem regulären n-Eck aus, wobei jede Ecke mit der übernächsten verbunden ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bild 1:
[mm] \beta [/mm] = 360°/n und damit
[mm] \alpha [/mm] = 180 ° - [mm] \beta
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] = (180 ° - [mm] \alpha)/2 [/mm] = [mm] \beta/2 [/mm] = 180° /n
------------------------
Bild 2:
[mm] tan(\gamma)= [/mm] h/(1/2), somit [mm] h=\bruch{1}{2}*tan(\gamma)
[/mm]
Gelbe Fläche: [mm] 0,5*0,5*h=\bruch{1}{8}*tan(\gamma)
[/mm]
Damit hat das rote Dreieck D die Fläche
[mm] D=\bruch{1}{4}*tan(\gamma)
[/mm]
------------------------
Bild 3:
Verbindet man zwei benachbarte Ecken des n-Ecks mit dem Mittelpunkt der Figur, so ist der Winkel im Mittelpunkt 300 °/n = [mm] \beta [/mm] und damit der Winkel im halben Dreieck [mm] \gamma=\beta/2.
[/mm]
[mm] tan(\gamma)=0,5/H, [/mm] also [mm] H=\bruch{1}{2*tan(\gamma)} [/mm] und damit die grüne Fläche [mm] 0,5*0,5*H=\bruch{1}{8*tan(\gamma)}.
[/mm]
Somit beträgt die Gesamtfläche G des n-Ecks 2n*grüne Fläche, also
G = [mm] \bruch{n}{4*tan(\gamma)}
[/mm]
--------------------------
Die Fläche S des gesamten Sterns ergibt sich, indem man von G n rote Dreiecke abzieht:
[mm] S=G-n*D=\bruch{n}{4}(\bruch{1}{tan(\gamma)}-tan(\gamma))=\bruch{n}{4}(\bruch{1-tan^2(\gamma)}{tan(\gamma)})
[/mm]
Der Anteil des Sterns am n-Eck beträgt dann
[mm] S/G=1-tan^2(\gamma)
[/mm]
------------------------
Bild 4:
Auch eine Zacke Z lässt sich nun leicht berechnen:
Das gesamte Dreieck aus Bild 1 hat den Flächeninhalt
[mm] A=0,5*1*1*sin(\alpha)=0,5*sin(180°-\beta)=0,5*sin(\beta)
[/mm]
[mm] Z=A-2D=0,5*sin(\beta)-0,5*tan(\gamma)=0,5*(sin(\beta)-tan(\gamma))
[/mm]
Für des innere reguläre Dreieck bleibt dann der Flächeninhalt I als
[mm] I=S-n*Z=\bruch{n}{4}(\bruch{1}{tan(\gamma)}-tan(\gamma))-\bruch{n}{2}(sin(\beta)-tan(\gamma))=\bruch{n}{4}(\bruch{1}{tan(\gamma)}+tan(\gamma)-2*sin(\beta))=\bruch{n}{4}(\bruch{1+tan^2(\gamma)}{tan(\gamma)}-2*sin(\beta))=\bruch{n}{4}(\bruch{1}{cos^2(\gamma)tan(\gamma)}-2*sin(\beta))
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{4}(\bruch{1}{cos(\gamma)sin(\gamma)}-2*sin(\beta))=\bruch{n}{4}(\bruch{2}{sin(2\gamma)}-2*sin(\beta))=\bruch{n}{4}(\bruch{2}{sin(\beta)}-2*sin(\beta))=\bruch{n}{2}(\bruch{1}{sin(\beta)}-sin(\beta))
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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