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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 28.05.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] -1/8x^3+3/4x^2; [/mm] ihr Graph sei K. Die x-Achse und K begrenzen eine Fläche F1; die Gerade mit der Gleichung y = 4 und K begrenzen eine Fläche F2. Beide Flächen rotieren um die x Achse; dabei entstehen Rotationskörper mit den Rauminhalten V1 und V2. Bestimmen Sie das Verhältnis V1:V2. |
Also irgendwie dachte ich, dass ich die Aufgabe einfach lösen konnte, jedoch komme ich beim Verhältnis auf ein Resultat was ich mir irgendwie nicht vorstellen kann. ich bekomme: V1:V2 = 8.43:1. Wenn ich mir den Graphen aber anschaue denke ich eher, dass das Verhältnis 1:1 sein müsste. naja hier meine vorgehensweise:
Durch das zeichnen des Graphens habe ich die jeweiligen intervalle bestimmt: für F1 = [0;6] für F2 = [-2;4]
Dann folgt:
V1 = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{6}{(-1/8x^3+3/4x^2)^2 dx}
[/mm]
Dass sollte soweit ja stimmen:
V1 = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{6}{(1/64x^6+9/16x^4 dx}
[/mm]
dann die Stammfunktion gesucht = F(x) = [mm] 1/448x^7 [/mm] + [mm] 9/80x^5
[/mm]
-->
V1 = [mm] \pi* [/mm] [F(b)-F(a)]
= [mm] \pi [/mm] * 1499.657
V1 = 4711.3
So, dann gehts zu V2:
Da ja die Gleichung y = 4 die Fläche oben begrenzt muss von ihr die Funktion f(x) abgezogen werden. Das Intervall ist: [-2;4]
V2 = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{-2}^{4}{(4^2)-((-1/8x^3+3/4x^2)^2) dx}
[/mm]
V2 = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{-2}^{4}{16 - 1/64x^6 + 9/16x^4 dx}
[/mm]
dann wieder die Stammfunktion gesucht = F(x) = 16x - [mm] 1/448x^7 [/mm] + [mm] 9/80x^5
[/mm]
V2 = [mm] \pi [/mm] * [F(b)-F(a)]
V2 = [mm] \pi [/mm] * 177.943
V2 = 559.02
und so komme ich auch auf das obengenannte Verhältnis! Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Do 28.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm]-1/8x^3+3/4x^2;[/mm] ihr
> Graph sei K. Die x-Achse und K begrenzen eine Fläche F1;
> die Gerade mit der Gleichung y = 4 und K begrenzen eine
> Fläche F2. Beide Flächen rotieren um die x Achse; dabei
> entstehen Rotationskörper mit den Rauminhalten V1 und V2.
> Bestimmen Sie das Verhältnis V1:V2.
> Also irgendwie dachte ich, dass ich die Aufgabe einfach
> lösen konnte, jedoch komme ich beim Verhältnis auf ein
> Resultat was ich mir irgendwie nicht vorstellen kann. ich
> bekomme: V1:V2 = 8.43:1. Wenn ich mir den Graphen aber
> anschaue denke ich eher, dass das Verhältnis 1:1 sein
> müsste. naja hier meine vorgehensweise:
>
> Durch das zeichnen des Graphens habe ich die jeweiligen
> intervalle bestimmt: für F1 = [0;6] für F2 = [-2;4]
>
> Dann folgt:
>
> V1 = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{6}{(-1/8x^3+3/4x^2)^2 dx}[/mm]
>
> Dass sollte soweit ja stimmen:
Bis hierhin passt alles.
Aber:
[mm] \left(-\bruch{1}{8}x^{3}+\bruch{3}{4}x^{2}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \ne\bruch{1}{64}x^{6}+\bruch{9}{16}x^{4}
[/mm]
Hier fehlt der Mittelteil der binomsichen Formel [mm] (a+b)^{2}=a²+\red{2ab}+b²
[/mm]
>
> V1 = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{6}{(1/64x^6+9/16x^4 dx}[/mm]
>
> dann die Stammfunktion gesucht = F(x) = [mm]1/448x^7[/mm] + [mm]9/80x^5[/mm]
>
> -->
>
> V1 = [mm]\pi*[/mm] [F(b)-F(a)]
>
> = [mm]\pi[/mm] * 1499.657
>
> V1 = 4711.3
>
> So, dann gehts zu V2:
>
> Da ja die Gleichung y = 4 die Fläche oben begrenzt muss von
> ihr die Funktion f(x) abgezogen werden. Das Intervall ist:
> [-2;4]
>
> V2 = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{-2}^{4}{(4^2)-((-1/8x^3+3/4x^2)^2) dx}[/mm]
Auch hier hast du die binomische Formel vergessen.
Zusätzlich hast du die Minusklammer übersehen.
$ [mm] \left(4\right)^{2}-\red{\left[}\left(-\bruch{1}{8}x^{3}+\bruch{3}{4}x^{2}\right)^{2}\red{\right]} [/mm] $
>
> V2 = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{-2}^{4}{16 - 1/64x^6 + 9/16x^4 dx}[/mm]
>
> dann wieder die Stammfunktion gesucht = F(x) = 16x -
> [mm]1/448x^7[/mm] + [mm]9/80x^5[/mm]
>
> V2 = [mm]\pi[/mm] * [F(b)-F(a)]
>
> V2 = [mm]\pi[/mm] * 177.943
>
> V2 = 559.02
>
> und so komme ich auch auf das obengenannte Verhältnis! Ist
> das richtig so?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 28.05.2009 | | Autor: | Marius6d |
hm ok, das mit der binomischen FOrmel ist klar ok, so komme ich auf V1 = 130.87 und V2 = 163.1 stimmt das so?
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Hallo Marius6d,
> hm ok, das mit der binomischen FOrmel ist klar ok, so komme
> ich auf V1 = 130.87 und V2 = 163.1 stimmt das so?
V1 stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei V2 komme ich auf etwas anderes.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok Danke hab nochmal nachgerechnet, jetzt komme ich bei V2 auf [mm] \pi [/mm] * 64.339 = 202.13
Stimmts jetzt? :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 29.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich komme auf einen anderen Wert:
Du hast:
[mm] V=\pi*\integral_{-2}^{4}\left(4\right)^{2}-\red{\left[}\left(-\bruch{1}{8}x^{3}+\bruch{3}{4}x^{2}\right)^{2}\red{\right]}dx
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{-2}^{4}16-\left(\bruch{1}{64}x^{6}-\bruch{3}{16}x^{5}+\bruch{9}{16}x^{4}\right)dx
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{-2}^{4}16-\bruch{1}{64}x^{6}+\bruch{3}{16}x^{5}-\bruch{9}{16}x^{4}dx
[/mm]
[mm] =\pi*\left[16x-\bruch{1}{448}x^{7}+\bruch{1}{32}x^{6}-\bruch{9}{80}x^{5}\right]_{-2}^{4}
[/mm]
[mm] =\pi*\left(\left[16*(4)-\bruch{1}{448}*(4)^{7}+\bruch{1}{32}*(4)^{6}-\bruch{9}{80}*(4)^{5}\right]-\left[16*(-2)-\bruch{1}{448}*(-2)^{7}+\bruch{1}{32}*(-2)^{6}-\bruch{9}{80}*(-2)^{5}\right]\right)
[/mm]
[mm] =\pi*\left(\left[64-\bruch{16384}{448}+\bruch{4096}{32}-\bruch{9216}{80}\right]-\left[-32+\bruch{128}{448}+\bruch{64}{32}+\bruch{32}{80}\right]\right)
[/mm]
[mm] =\pi*\left(40\bruch{8}{35}-\left[-29\bruch{11}{35}\right]\right)
[/mm]
[mm] =\pi*69\bruch{19}{35}
[/mm]
[mm] \approx218,475
[/mm]
Marius
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Hallo M.Rex,
> Hallo
>
> Ich komme auf einen anderen Wert:
>
> Du hast:
>
> [mm]V=\pi*\integral_{-2}^{4}\left(4\right)^{2}-\red{\left[}\left(-\bruch{1}{8}x^{3}+\bruch{3}{4}x^{2}\right)^{2}\red{\right]}dx[/mm]
>
> [mm]=\pi*\integral_{-2}^{4}16-\left(\bruch{1}{64}x^{6}-\bruch{3}{16}x^{5}+\bruch{9}{16}x^{4}\right)dx[/mm]
>
> [mm]=\pi*\integral_{-2}^{4}16-\bruch{1}{64}x^{6}+\bruch{3}{16}x^{5}-\bruch{9}{16}x^{4}dx[/mm]
>
> [mm]=\pi*\left[16x-\bruch{1}{448}x^{7}+\bruch{1}{32}x^{6}-\bruch{9}{80}x^{5}\right]_{-2}^{4}[/mm]
>
> [mm]=\pi*\left(\left[16*(4)-\bruch{1}{448}*(4)^{7}+\bruch{1}{32}*(4)^{6}-\bruch{9}{80}*(4)^{5}\right]-\left[16*(-2)-\bruch{1}{448}*(-2)^{7}+\bruch{1}{32}*(-2)^{6}-\bruch{9}{80}*(-2)^{5}\right]\right)[/mm]
>
> [mm]=\pi*\left(\left[64-\bruch{16384}{448}+\bruch{4096}{32}-\bruch{9216}{80}\right]-\left[-32+\bruch{128}{448}+\bruch{64}{32}+\bruch{32}{80}\right]\right)[/mm]
Hier muss es heißen:
[mm]=\pi*\left(\left[64-\bruch{16384}{448}+\bruch{4096}{32}-\bruch{9216}{80}\right]-\left[-32+\bruch{128}{448}+\bruch{64}{32}+\bruch{32*\red{9}}{80}\right]\right)[/mm]
Dann kommt auch das richtige heraus.
Kontrolle: [mm]66\bruch{12}{35}*\pi \approx 208,422[/mm]
>
> [mm]=\pi*\left(40\bruch{8}{35}-\left[-29\bruch{11}{35}\right]\right)[/mm]
> [mm]=\pi*69\bruch{19}{35}[/mm]
> [mm]\approx218,475[/mm]
>
>
> Marius
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:50 Fr 29.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo M.Rex,
>
> >
> [mm]=\pi*\left(\left[64-\bruch{16384}{448}+\bruch{4096}{32}-\bruch{9216}{80}\right]-\left[-32+\bruch{128}{448}+\bruch{64}{32}+\bruch{32}{80}\right]\right)[/mm]
>
>
> Hier muss es heißen:
>
>
> [mm]=\pi*\left(\left[64-\bruch{16384}{448}+\bruch{4096}{32}-\bruch{9216}{80}\right]-\left[-32+\bruch{128}{448}+\bruch{64}{32}+\bruch{32*\red{9}}{80}\right]\right)[/mm]
>
> Dann kommt auch das richtige heraus.
>
> Kontrolle: [mm]66\bruch{12}{35}*\pi \approx 208,422[/mm]
>
Hallo MathePower.
Danke für die Korrektur.
>
> >
> >
> [mm]=\pi*\left(40\bruch{8}{35}-\left[-29\bruch{11}{35}\right]\right)[/mm]
> > [mm]=\pi*69\bruch{19}{35}[/mm]
> > [mm]\approx218,475[/mm]
> >
> >
> > Marius
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
Marius
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