Flächeninhaltsberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
ich hab da ein meeeega dämliches Problem, weil ich schon seit über 2 Stunden versuche meinen Fehler zu finden bei folgender Integration:
Es soll der Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen f(x) und g(x) bestimmt werden:
f(x)= [mm] \bruch{2}{5-x} [/mm] und g(x)= [mm] \bruch{x+2}{2x+5}
[/mm]
Zunächst habe ich die Schnittstellen bestimmt.
f(x)=g(x) für x=0 [mm] \wedge [/mm] x=-1
Die stimmen auch, die hab ich mit Derive überprüft.
Dann gings los:
[mm] A_{f}= [/mm] | [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)-g(x) dx} |
=| [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] { 2/(5-x) - (x+2)/(2x+5) dx} |
soweit so gut, ich denke wenn ich bis herhin einen Fehler gemacht habe, dann war das mehr als mega dämlich.....
Eine Stammfunktion von dem vorderen Term zu finden ist glaub cih nicht so schwer, denn eine wäre doch z.b: 2*ln(5-x) ODER nicht???
Bei dem hinteren Term hab ich etwas tricksen müssen, ich hoffe ich hab mich nicht selber ausgetrickst:
Hinterrer Term ist:
[mm] \bruch{x+2}{2x+5}
[/mm]
= [mm] \bruch{x+2,5 -0,5}{2(x+2,5)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x+2,5}{2(x+2,5)} [/mm] - [mm] \bruch{0,5}{2(x+2,5)}
[/mm]
= 1/2 - 1/4 [mm] *\bruch{1}{x+2,5}
[/mm]
Ist das soweit alles richtig????
Dann habe ich also:
[mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] { [mm] \bruch{2}{5-x} [/mm] -1/2 dx} +1/4 * [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x+2,5} [/mm] dx}
Dann bekomme ich als Stammfunktionen:
[2ln(5-x) -1/2x] + 1/4 [ln(x+2,5)]
Eingestzt erhalte ich dann:
2ln5-2ln6-1/2+1/4(ln2,5-ln1,5) [mm] \approx [/mm] 0,736
Das is aber bedauerlicherweise nicht das korreckte Ergebnis...grrr
Das richtige Ergebnis lautet 7,65/10³
Kann mir BIIIITTEE jemand sagen was ich falsch gemacht habe??? Ich schreib morgen ne Klausur und das hier macht mich wahnsinnig.....
Danke schonmal im Vorraus
MfG Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 30.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Grizzlitiger,
ich befürchte, Du wirst Dir gleich mit der flachen Hand auf die Stirn schlagen ...
> Eine Stammfunktion von dem vorderen Term zu finden ist
> glaub cih nicht so schwer, denn eine wäre doch z.b:
> 2*ln(5-x) ODER nicht???
Und hier ist der Hund begraben!!
Die Stammfunktion lautet $F(x) = -2 * ln(5-x)$.
Du hast schlicht und ergreifend das Minuszeichen vor dem x "ignoriert".
Zahlenmäßig habe ich das jetzt nicht kontrolliert.
Aber ich hoffe, das war's ...
Grüße Loddar
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hi
also erstmal vielen dank für die schnelle hilfe! aber ich fürchte da muss ncoh ein weiterer fehler drinstecken, denn ich hab immernoch etwas falsch heraus. ich werd das aber nochmal weiterüberprüfen....
MfG Johannes
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hi
also erstmal vielen dank für die schnelle hilfe! aber ich fürchte da muss noch ein weiterer fehler drinstecken, denn ich hab immernoch etwas falsch heraus. ich werd das aber nochmal weiterüberprüfen....
MfG Johannes
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hi
also erstmal vielen dank für die schnelle hilfe! aber ich fürchte da muss noch ein weiterer fehler drinstecken, denn ich hab immernoch etwas falsch heraus. ich werd das aber nochmal weiterüberprüfen....
MfG Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 30.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Also nochmal in Ruhe 
Unsere "Formel" für die gesuchte Fläche lautet:
$A = | [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] {f(x) - g(x) dx} |$
Integration:
$A = | [-2*ln(5-x) - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*ln(x+2,5)]_{-1}^0 [/mm] |$
Grenzen einsetzen:
$A = | (-2*ln(5) - 0 + [mm] \bruch{1}{4}*ln(2,5)) [/mm] - (-2*ln(6) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*ln(1,5))|$
[/mm]
Wenn ich das nun in den Taschenrechner eintippe , komme ich wirklich auf Dein Ergebnis von $0,00766 [mm] \approx [/mm] 0,00765$.
Da war im 2. Durchgang bestimmt nur ein Tippfehler am TR drin ...
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Hi
ja endlich hab ich das auch raus. man das wurd aber auch zeit.... vielen dank für die nette hilfe.
ich hatte die betragsstriche falsch gesetzt. ich hab das in zwei integrationen zerlegt und dann wieder betragsstriche gesetzt. maaaan wie dämlich. aber gut erstmal vielen dank. eine frage hätte ich aber noch:
warum ist denn F(x)=-2ln(5-x) von f(x)=2/(5-x)???
nochmal danke
MfG Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 30.11.2004 | | Autor: | Loddar |
> eine frage hätte ich aber noch:
> warum ist denn F(x)=-2ln(5-x) von f(x)=2/(5-x)???
Mach doch einfach mal die Probe!
Damit gilt:
F ist eine Stammfunktion von f, muß doch gelten: F'(x) = f(x) !!!
$F(x) = -2 * ln(5-x)$
$F'(x) = -2 * [mm] \bruch{1}{5-x} [/mm] * (-1)$
Die "(-1)" am Ende entsteht durch die Kettenregel
("äußere Ableitung" × "innere Ableitung").
Zusammenfassen von (-2) und (-1) und wir haben unsere Ursprungsfunktion:
$F'(x) = [mm] \bruch{2}{5-x} [/mm] = f(x)$ !!!
Auch "richtig rum" gerechnet(sprich: durch Integration), erhalten wir die o.g. Stammfunktion:
$f(x) = [mm] \bruch{2}{5-x}$
[/mm]
Ganz formal vorgegangen, nun Substitution: z := 5-x.
Dann gilt: $z' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = (5-x)' = -1$
Daraus erhalten wir: $dx = [mm] \bruch{dz}{-1} [/mm] = (-1) * dz$.
Das eingesetzt in unsere Ursprungsfunktion:
$F(x) = [mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx}$
$F(x) = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{5-x} dx}$
[/mm]
$F(x) = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{z} * (-1) dz}$
[/mm]
Konstante Faktoren vor das Integralzeichen:
$F(x) = (-1) * 2 * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{z} dz}$
[/mm]
$F(x) = -2 * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{z} dz}$
[/mm]
$F(x) = -2 * ln(z) + C$
(Die Integrationskonstante interessiert in unserer Aufgabe nicht, da wir ja für die Flächenberechnung ein bestimmtes Integral behandeln.)
Zurücksubstituieren:
$F(x) = -2 * ln(5-x)$ Voilà !!!
Alles klar?? Prima
Schönen Abend noch ...
Loddar
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vielen dank für die tatkräftige hilfe!!! Klausur ist ziemlich gut gelaufen...
mfg
johannes
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